¿De cuántas maneras pueden colocarse 33 bolitas indistinguibles en 7 cajas distintas si en la primera caja debe haber a lo sumo 3 bolitas y en la segunda caja debe haber más bolitas que en la primera?
Si en la primera caja debo colocar a lo sumo 3 bolitas, las posibilidades son poner 0, 1, 2 o 3.
Sea \(i\) una de estas posibilidades. Las maneras de colocar las bolitas son:
- Tengo i bolitas en la caja 1 (\(0 \leq i \leq 3\))[/*:m]
- Luego coloco \((i+1)\) bolitas en la caja 2, para cumplir que en la 2º caja haya mas bolitas que en la primera. Entonces tengo esta cantidad de bolitas sin ubicar: \(33-i-(i+1) = 32-2i = A\)[/*:m]
- Distribuyo mis \(A\) bolitas libres en 6 cajas (no pueden ir en la primera)
Entonces:\(\displaystyle\binom{32-2i+5}{5}\)[/*:m]
Entonces puedo ubicar las bolitas de \(\sum_{i=0}^3{ \displaystyle\binom{37-2i}{5} }\) formas distintas cumpliendo lo pedido.