[Resuelto] 1er parcial 30/07/04

Hola, ayuda con este problema!

Sean A={1,2,.......,10} y B={1,2,........20}
Calcular el numero de funciones inyectivas \(F: A\longrightarrow{B}\) tales que F(1)+F(4)+F(7)=8

Gracias

Dividamos el problema en dos partes. Primero, elijamos los valores de 1, 4, y 7. ¿De cuantas maneras podemos hacer que tres números sumen 8, y sean todos distintos?

Vamos a hacer una lista completa de las posibles tripletas a|b|c tales que a + b+ c = 8, todos disintos y a>b>c>0 (esto para evitar repeticiones). Primero, es claro que a < 9. No podemos empezar con 8 o con 7, porque entonces c es necesariamente 0, y esto no puede ser. Entonces empezamos con 6. Nos queda entonces el 6|1|1, pero este no sirve porque b = c, y pedimos que sea menor estricto. Veamos entonces las que empiezan con 5: Estan el 5|2|1, y después no hay más, porque si aumentamos b, c = 0 y eso no nos sirve, y si aumentamos c nos queda que b <c.

Después, empezando con 4 está 4|3|1, y no hay otra con 4.

Si empezamos con 3, lo mejor que podemos hacer es 3|2|1, y eso no sirve. Entonces no puede ser que el más grande sea tres.

Entonces fijense que debe ser {F(1), F(4), F(5)} = {5,2,1} o {F(1), F(4), F(5)} = {4,3,1} (como conjuntos). En el primer caso, tenemos 6 posibles formas de asignar las imágenes, y en el segundo también. Así, hay 12 formas posibles de que F(1), F(4) y F(7) sumen 8 y sean todas distintas. Ahora, nos sobran 17 números, debemos escoger 7 de ellos para que sean la imágen de los restantes siete números del dominio, y hay 7! formas de hacer la asignación. Tenemos entonces que el número total es \(12 \binom{17}{7} 7!\). Espero que se haya entendido. Cualquier cosa, pregunten. Saludos.

Esto pensé yo:
Observá que tenés que contar las funciones inyectivas; luego, lo que estás pidiendo es que \(F(a)\eq=F(b)\Lefrightarrow a\eq=b\), vale decir, tenés que elegir todas las imágenes diferentes. La restricción que tenés es que \(F(1)+F(4)+F(7)\eq=8\). Puesto que son todos números naturales, en realidad, tenés la ecuación \(a+b+c\eq=8\), con a,b,c enteros, que la podés pensar como la cantidad de maneras de repartir 8 bolitas en 3 cajas. Además, querés que sea inyectiva, luego realmente querés que ninguna caja quede vacía y que la cantidad de bolitas de cada caja sea distinta. Luego, este es un problema que ya conocés; fijás una bolita en cada caja, y se convierte el ejercicio en la cantidad de maneras de repartir 5 bolitas en 3 cajas. Esto es el bozón \(7 \choose {2}\). Pero hay que tener el cuidado que todavía no tenés los casos que realmente buscás; observá que querés inyectividad, luego la cantidad de bolitas en cada caja debe ser distinta; fijate que estás contando como casos las situaciones en las que tenés 2 bolitas en cada caja y una en una caja; y 1 bolita en dos cajas, y 3 bolitas en una sola caja, una situación más, que es en la que no pusiste nada en dos cajas, y dejaste 5 en una(fijate que estas son las únicas posibilidades de tener la misma cantidad en dos cajas o más). Puesto que las cajas son distinguibles, para cada una de las distribuciones tenés 3 maneras(\(3 \choose {1}\)). Luego, tenés que calcular \(7 \choose {2}-9\eq=12\). Y estas son todas las posibles asignaciones para esas imágenes. Finalmente, asignaste 3 elementos distintos de los 10 que tenés; luego, tenés que elegir para cada unos de los 7 que quedan una imágen distinta; puesto que ya seleccionaste 3 de las 20, tenés \(\frac{17!}{10!}\eq=17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\). Luego, tenés en total \(12\cdot \frac{17!}{10!}\), y esa es la cantidad que buscás
Fijate si quedó claro. Saludos

Se entendió perfecto, gracias por la ayuda.