En un tablero de 8x8 casilleros hay que acomodar las fichas a no más de una por casilla
a) 5 fichas blancas y 3 negras
Yo lo que hice fue tengo 64 casilleros, por lo cual hay 64! formas de acomodarlas si pienso los casilleros en hilera.Pero para eliminar repeticiones elimino las permutaciones de los 5 casilleros con fichas blancas, los 3 casilleros con fichas negras y los 56 casilleros vacíos.
Queda (dividido por 4 por las cuatro permutaciones del tablero)
$$\frac{64!}{3!5!56!4}$$
b) 5 fichas que pueden ser blancas o negras
5negras
$$\frac{64!}{5!59!4}$$
4negras 1 blanca
$$\frac{64!}{4!59!4}$$
3negras 2 blancas
$$\frac{64!}{3!2!59!4}$$
2negras 3 blancas
$$\frac{64!}{3!2!59!4}$$
1negra 4 blancas
$$\frac{64!}{4!59!4}$$
5blancas
$$\frac{64!}{5!59!4}$$
El total es la suma de todos esos casos
c) 5 fichas blancas de forma tal que no puede haber más de una ficha en la misma fila ni en la misma columna
Primero elijo 5 de las 8 filas con el combinatorio y luego para cada una de las 5 opciones le elijo la columna
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Yo lo que hice fue pensar cada casilla vacia como la letra V, cada ficha Blanca como la letra B y cada ficha negra como la letra N.
Entonces tenes una palabra de 64 letras formada por 3 letras repetidas varias veces. Entonces dependiendo lo que te pida, simplemente utilizas el razonamiento de permutar anagramas y listo.
Por ejemplo, en el primer punto, en donde tenes 5 fichas blancas y 3 fichas negras.
Te queda una palabra de 56 letras V, 5 letras B y 3 letras N.
Por lo tanto te queda:
B) Lo mismo que el anterior, pero sumo los casitos, como hiciste vos.
C) Para el primero lugar tenes 64 lugares, una vez que pusiste la primera, se elimina una columna y una fila, por lo cual te queda una especie de cuadricula de 7x7, en la que tenes 49 lugares para poner la ficha, y asi vas repitiendo los pasos hasta poner las 5 fichas, osea
B) Lo mismo que el anterior, pero sumo los casitos, como hiciste vos.
C) Para el primero lugar tenes 64 lugares, una vez que pusiste la primera, se elimina una columna y una fila, por lo cual te queda una especie de cuadricula de 7x7, en la que tenes 49 lugares para poner la ficha, y asi vas repitiendo los pasos hasta poner las 5 fichas, osea
64 x 49 x 36 x 25 x 16
Yo lo hice asi, cualculo que esta bien =P
uhh, el a y el b lo hice igual a vos, el c lo hice igual a frangi...pero los q mas dudas tengo son en el a y el b..espero que sean como vos decis jajaj
Yo lo que hice fue pensar cada casilla vacia como la letra V, cada ficha Blanca como la letra B y cada ficha negra como la letra N.
Entonces tenes una palabra de 64 letras formada por 3 letras repetidas varias veces. Entonces dependiendo lo que te pida, simplemente utilizas el razonamiento de permutar anagramas y listo.
Por ejemplo, en el primer punto, en donde tenes 5 fichas blancas y 3 fichas negras.
Te queda una palabra de 56 letras V, 5 letras B y 3 letras N.
Por lo tanto te queda:
$$\frac{64!}{5!56!3!}$$
Y analogamente dependiendo de lo que piden...
Maxi, pusiste lo mismo que yo solo que no dividiste por la cantidad de veces que uno puede girar el tablero y verse lo mismo. El resto es igual. Yo permuté casilleros en blanco, casilleros con fichas negras y casilleros con fichas blancas. Vos permutaste letras. Es el mismo modo de contar che.
Y no tengo idea de qué tema era, pero Rapsodius decía que el suyo era el 1 así que supuse que el mio no podía serlo XD
ah! y para mi este es el ejercicio 3 y el de induccion es el 2 o.o, pero vos rapsodius pusiste que el de inducción era el 3 jajajaja así que ya no se nada
Yo el tercero creo que lo hice parecido a Diego - la primera ficha la podes poner en 100 casillas. Esto te saca 19 casillas posibles. La segunda la podes poner en (100 - 19) casillas, y te saca 19 - 2 = 17 casillas mas, porque ya 2 casillas que querés sacar te las sacaron la fila y columna que tachaste antes. La segunda la podes poner en (100 - 19 - 17) casillas porque la fila que pones tacha dos casillas que ya tacharon dos columnas anteriores, y viceversa, y asi. Todos estos multiplicando te dan las formas de poner las fichas.
Igual, soy bastante nabo. Lo expliqué bien y escribí bien los primeros 3 terminos, y despues como soy tan capo y no me puedo dignar a escribir 4 términos mas, escribí...
\(100 \cdot \prod_{i=0}^6 (100 - (19 - 2i))\), lo cual no tiene nada que ver con lo que escribí antes...
Creo que la solución para un problema de n x n con k personas sería...
Igual puedo haber mandado fruta en esta productoria también. Ruego que, al igual que el profesor que me corregirá el parcial, se fijen en lo que dije, no lo que hice xD (Puede ser que el "hasta i" de la sumatoria sea "hasta i-1", no se bien que pasa con una sumatoria de 0 a 0...se cuenta lo de adentro?)
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
= me di cuenta que repeti BOCHA de casos, lo que pasa que no tuve demasiado tiempo para pensarlo, el primero lei mal el dominio de la imagen, y me habia quedado algo que no era inyectivo, cuando me di cuenta, tube que rehacer una hoja entera y perdi monton de tiempo.
Un amigo mio que sabe bastante del tema dice que era C(10,5) x 5! (en el otro tema, que era un tablero de 10 x 10 y 5 fichas)
En un tablero de 8x8 casilleros hay que acomodar las fichas a no más de una por casilla
a) 5 fichas blancas y 3 negras
Yo lo que hice fue tengo 64 casilleros, por lo cual hay 64! formas de acomodarlas si pienso los casilleros en hilera.Pero para eliminar repeticiones elimino las permutaciones de los 5 casilleros con fichas blancas, los 3 casilleros con fichas negras y los 56 casilleros vacíos.
Queda (dividido por 4 por las cuatro permutaciones del tablero)
$$\frac{64!}{3!5!56!4}$$
b) 5 fichas que pueden ser blancas o negras
5negras
$$\frac{64!}{5!59!4}$$
4negras 1 blanca
$$\frac{64!}{4!59!4}$$
3negras 2 blancas
$$\frac{64!}{3!2!59!4}$$
2negras 3 blancas
$$\frac{64!}{3!2!59!4}$$
1negra 4 blancas
$$\frac{64!}{4!59!4}$$
5blancas
$$\frac{64!}{5!59!4}$$
El total es la suma de todos esos casos
c) 5 fichas blancas de forma tal que no puede haber más de una ficha en la misma fila ni en la misma columna
Primero elijo 5 de las 8 filas con el combinatorio y luego para cada una de las 5 opciones le elijo la columna
no, no habia que dividir por 4...la solucion del c (o eso creo ya que me lo habian puesto como bien XD) era:
\(\binom{8}{5} \cdot \binom{8}{5} \cdot 5!\) ...los combinatorios salen de cuantas maneras puedo agarrar las 5 filas y las 5 columnas, y el factorial sale de cuantas maneras puedo ubicar cada ficha en un tablero de 5x5 de manera tal que no se repitan en la fila ni en la columna...