Hola gente antes que nada gracias a todos por las ayudas y las respuestas.
Como no me gusta ser un parásito acá pongo una modesta colaboración espero que a alguien le sea útil. Saludos y gracias a todos.
1. Determinar todos los \(a \in \mathbb{Z} , 0\leq a< 77\) tales que \({a}^{163}\equiv3 (7) {a}^{102}\equiv5 (7)\)
7 y 11 son primos entonces podemos utilizar el pequeño teorema de Fermat que dice \({a}^{p} \equiv a (p)\) con p primo y \(a\in \mathbb{Z}\).
$${a}^{163}\equiv{({a}^{7})}^{23}{a}^{2}\equiv {a}^{25}\equiv{({a}^{7})}^{3}{a}^{4}\equiv {a}^{7}\equiv a \equiv 3 (7)$$
sea \(x={a}^{2}\) entonces \(x \equiv 2 (7)\) y \(x \equiv 5 (11)\)
Como \((7:11)=1\) aplicamos el teorema chino del resto que nos dice que \(\exists ! x\) tal que \(0\leq x< 7*11=77\)
De las ecuaciones de congruencias tenemos: \(x-2=k7\) y \(x-5=q11\)
si restamos la primera con la segunda \(3=k7-11q\)
si \(k= 2\) y \(q=1\) se cumple la ecuación si reemplazamos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones nos da que \(x=16\)
\(x={a}^{2}=16\) como\(0\leq a\) entonces \(a=4\) pero si reemplazo en
las ecuaciones \(a \equiv 3 (7)\) y \({a}^{2} \equiv 5 (11)\)
Lo que es absurdo por que 3 no es congruente con 4 módulo 7
El absurdo recae en suponer que
$$( {a}^{2} \equiv 2 (7) \Longrightarrow a \equiv 3 (7))$$
Respuesta:\(\nexists a \in [0;77]\) que cumpla las dos condiciones.
Pero no sé por que pasa esto si está bien o mal bueno espero que lo vean saludos.
**2.**¿A qué potencia aparece el 5 en la factorización de \({2}^{6}.{5}^{17}.{101}^{15}+{3}^{3}.{5}^{17}.{7}^{160}.53\)?
\(({2}^{6}{101}^{15}+{3}^{3}.{7}^{160}.53).{5}^{17}=C.{5}^{17}\)
pequeño teorema de Fermat que dice \({a}^{p} \equiv a (p)\) con p primo y \(a\in \mathbb{Z}\).
Por el P.T.F. \({2}^{6} \equiv {2}^{2} \equiv 4 (5)\)
\(101=100+1 \equiv 1(5)\) entonces \({101}^{15} \equiv {1}^{15} \equiv 1 (5)\)
$${3}^{3}=27 \equiv 2 (5)$$
¿Otra versión del T.C.F? si \((a:p)=1\) \(p\) primo entonces \({a}^{p-1} \equiv 1 (p)\)
Por T.C.F \({7}^{160} = {({7}^{4})}^{40} \equiv 1 (5)\)
$$53=50+3 \equiv 3 (5)$$
Entonces \(C \equiv 4.1+2.1.3=10 \equiv 0 (5)\) Entonces 5 divide a C.
$${2}^{6} = 64 \equiv 14 (25)$$
\(101=100+1 \equiv 1(25)\) entonces \({101}^{15} \equiv {1}^{15} \equiv 1 (25)\)
$${3}^{3}=27 \equiv 2 (25)$$
Por el Teorema de Euler como \((7:25)=1\) entonces \({7}^{20} \equiv 1 (25)\)entonces \({7}^{160} = {({7}^{20})}^{8} \equiv 1 (25)\)
$$53=50+3 \equiv 3 (25)$$
Entonces \(C \equiv 14.1+2.1.3=20 (5)\) Entonces 25 no divide a C.
Respuesta: A la potencia 18 aparece el en la factorización.
**3.**Hallar todos los pares \((z,w)\in \mathbb{C} x \mathbb{C}\) tales que \(z.w=-2i\) y \(w.{z}^{6}={(1+i)}^{10}\)
primero: Dos complejos(ambos distintos de 0) si sus módulos lo son y sus argumentos difieren en \(2k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\)
De acá sale \(\color{red}{2}\) que \(6.\alpha+\beta=\frac{\pi}{2} + 2l \pi\) con \(l\in \mathbb{Z}\)
Haciendo \(\color{red}{\frac{2-1}{5}}\)
queda: \(\alpha=\frac{-\pi}{5} + \frac{2\pi q}{5}\) con \(l-k=q \in \mathbb{Z}\)
Entonces sale que \(\alpha =\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi,\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\)
Reemplazando en cualquier ecuación salen los valores de \(\beta\)
De acá se deduce que \(w\in {G}_{12}\) y \(w\notin {G}_{3}\)
Si \(w\in {G}_{3}\) entonces \(1+{w}^{3}+{w}^{6}+{w}^{9}=1+1+1+1=4\neq 0\) entonces si\(w\in {G}_{3}\) no cumple con la condición
Como \(w \in {G}_{12}\) y \(w\in {G}_{20}\).
Entonces \(w\in {G}_{20}\cap{G}_{12}={G}_{(20:12)}={G}_{4}\)
Como \({G}_{4}=\){\(1,-1,i,-i\)}
Como \(1 \in {G}_{3}\) entonces no es respuesta.
Y con las otras 3 respuestas si se reemplaza se corrobora que cumplen con las condiciones Respuesta: \(w= -1\) o \(i\) o \(-i\).
**5.**i) Determinar un polinomio \(f \in \mathbb{Q}[X]\) mónico de grado 3. cuyas raíces \(a,b,c \in \mathbb{Q}\) satisfacen \(a+b+c=5\), \({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=3\), \({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}=5\)
ii)¿Cuáles son las raíces \(a,b,c \in \mathbb{C}\) del polinomio \(f\) hallado en i)?
y el polinomio es \(f(x)={x}^{3}-5.{x}^{2}+11.x-15\)
ii)
\(f(x)={x}^{3}-5.{x}^{2}+11.x-15\)
Usamos el lema de Gauss que dice que si \((p:q)=1\) y \(\frac{p}{q}\) es raíz de \(f\) entonces \(p/{a}_{0}\) y \(q/{a}_{n}\)
Reemplazando se obtiene que la única raíz racional es 3
y luego resolviendo una cuadrática se obtiene las otras dos raices que son \(1+2i\) y \(1-2i\) Respuesta: \(f(x)=(x-(1+2i)).(x-(1-2i)).(x-3)\)
**6.**Sea \(f \in \mathbb{Q}[X]\) un polinomio mónico de grado 9 tal que -1 es raíz de \(f\). Sabiendo que \((f:f´)=({x}^{2}-3).({x}^{2}-1)\), factorizarlo en \(\mathbb{C}[X],\mathbb{R}[X] y \mathbb{Q}[X]\).
Como \((f:f´)/f\) y \((f:f´)/f´\)
entonces las raices de \((f:f´)\)son múltiples de grado mayor o igual a 2 en el polinomio \(f\) entonces
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
\(7\) es primo
si \(7|a\) entonces \(a^{163} \equiv 0 \ (7)\). Esto es un absurdo por lo tanto \((a:7)=1\)
\(11\) es primo
si \(11|a\) entonces \(a^{102} \equiv 0 \ (11)\). Esto es un absurdo por lo tanto \((a:11)=1\)
\(a^{163} \equiv 3 \ (7)\). \(7\) es primo y \((a:7)=1\), se puede aplicar el pequeño teorema de fermat tal que \(a^{p-1} \equiv 1 \ (p)\); donde \(p-1=6\). Sabiendo que \(163=27.6+1\) entonces:
$$a^{163} \equiv a^{6.27+1} \equiv (a^6)^{27} . a \equiv a \equiv 3 \ (7)$$
Se deduce entonces que: \(a \equiv 3 \ (7)\)
\(a^{102} \equiv 5 \ (11)\). \(11\) es primo y \((a:11)=1\), se puede aplicar el pequeño teorema de fermat tal que \(a^{p-1} \equiv 1 \ (p)\); donde \(p-1=10\). Sabiendo que \(102=10.10+2\) entonces:
Haciendo la famosa tablita dándole valores a \(a\) y viendo cuál al cuadrado queda congruente a \(5\) módulo \(11\) nos sale que:
\(a^2 \equiv 5 \ (11)\) si \(a \equiv 4 \ (11)\) ó \(a \equiv 7 \ (11)\)
Si, es cierto. Perdón, pasa por mirar las cosas a horas tardías. Hacé como Santiago dice. La tabla de restos siempre ayuda(ver un topic que muestra el poder de la tabla, para situaciones extremas, en la sección off-topic)
Gracias gente, tenía una duda de como hacerlo y no entendía en que estaba mal.
Este parcial fue el que dí hace unos días pero por razones de prolijidad no me corregieron el punto 1 😛 entonces no pude ponerlo con la debida corrección pero los demás creo que están más o menos bien.
Saludos.
**3.**Hallar todos los pares \((z,w)\in \mathbb{C} x \mathbb{C}\) tales que \(z.w=-2i\) y \(w.{z}^{6}={(1+i)}^{10}\)
primero: Dos complejos(ambos distintos de 0) si sus módulos lo son y sus argumentos difieren en \(2k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\)
De acá sale \(\color{red}{2}\) que \(6.\alpha+\beta=\frac{\pi}{2} + 2l \pi\) con \(l\in \mathbb{Z}\)
Haciendo \(\color{red}{\frac{2-1}{5}}\)
queda: \(\alpha=\frac{-\pi}{5} + \frac{2\pi q}{5}\) con \(l-k=q \in \mathbb{Z}\)
Entonces sale que \(\alpha =\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi,\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\)
Reemplazando en cualquier ecuación salen los valores de \(\beta\)
Buenas.
Perdona pero no comprendo como procediste para resolver este ejercicio.
¿ Porque planteas \(Z=\frac{z}{|z|}\) y \(W=\frac{w}{|w|}\) ?
A partir de alli le pierdo la Linea al ejercicio, no entiendo porque planteas un nuevo "Z" a partir de "z" y lo mismo con "W" y "w".
Una ves que averigue los modulos (me dieron igual que a vos), yo procedi asi: (No esta terminado, porque sospecho algo esta mal!):
• Argumento de la primer ecuacion...