Posteo el recuperatorio del 1er parcial que tomaron el sábado que fue bastante fuera de lo común:
$$\textrm{1. Sea $ A = \{ n \in \mathbb{N} : n $ divide a $60^8$\}. Se {d}efine en $ A $ la siguiente relacion: }$$
$$a R b \Leftrightarrow ( a : b ) > 1$$
$$\textrm{Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica, transitiva.}$$
$$\textrm{2. Sea B el conjunto de los primeros 150 primos positivos. Se eligen primos de este conjunto con repeticion y se multiplican para obtener el numero $n$.}$$
$$\textrm{(a) Cuantos $n$ distintos pueden obtenerse que terminen en cero y tal que $p^4$ no divida a $n$ para ningun primo?}$$
$$\textrm{(b) Cuantos $n$ distintos pueden obtenerse que tengan exactamente 45 divisores positivos?}$$
$$\textrm{3. Probar que para todo $n$ natural, 2304 divide a $7^{2n}-48n-1$.}$$
$$\textrm{4. (a) Sean $A=[0,\frac{2}{3}]$ y $B=[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$ dos intervalos cerrados de numeros reales.}$$
$$\textrm{Probar que realizando uniones, intersecciones y diferencias de conjuntos a partir de $A$ y $B$ cuantas veces quiera, se obtienen 8 conjuntos distintos.}$$
$$\textrm{Para cada uno de ellos, dar una formula en terminos de $A$ y $B$}$$
$$\textrm{(por ejemplo, se puede obtener el intervalo $[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$, que puede darse por la formula $[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]=A \cap B$).}$$
$$\textrm{(b) Cuantos conjuntos distintos se obtienen si los intervalos son $A=[0,\frac{2}{3}]$ y $B=[0,\frac{3}{4}]$ ? }$$
$$\textrm{5. Dado $a \in \mathbb{Z}$, encontrar los posibles valores de $(3a^2-2a-2 : 2a+3)$.}$$
$$\textrm{Para cada valor hallado, encontrar un $a \in \mathbb{Z}$ que cumpla que ese valor es el maximo comun divisor.}$$
Si quieren pueden resolver cada ejercicio en la sección que debería estar y después copio la resolución a este topic.
Firma
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra
Voy a mostrar como se hacia el de las uniones e intersecciones que era el mas raro:
Uno encontraba sin dificultad cuales eran los 8 conjuntos y se daba cuenta que esa familia era cerrada por intersecciones, uniones y diferencias (Es decir que si tomo cuales quiera 2 de esos 8 conjuntos y les hago una de las 3 operaciones obtengo otro de esos conjuntos)
Ahora demostramos por induccion que siempre se va a obtener uno de esos conjuntos. La induccion va a ser en el numero de operaciones que necesito para formar un conjunto.
Si necesito 0 operaciones entonces el conjunto es A o B y entonces es uno de los 8
Si vale para n y tengo un conjunto que se forma con n+1 operaciones, me fijo el conjunto del paso n que por HI es uno de los 8. Ahora cuando hago una operacion mas es con alguno de los que produje anteriormente que es alguno de los 8 por HI. Ahora cuando hago esa ultima operacion me quede entre los 8 por lo que habia probado antes.
Espero que se entienda. Cualquier duda pregunten. Y espero que alguien sepa una solucion mas sencilla.
El tercero creo que lo copiaste mal porque \(7^2n-48n-1=n-1\), me parece que es \(7^{2n}-48n-1=n-1\), se te escapo la n de la potencia.
Alguien puede hacer el 2 por favor? Gracias.
Saludos!
Yo en el de las uniones e intersecciones lo q hice fue escribirle
"que no habia mas que esos 8 conjuntos porque son uniones , intersecciones y diferencias de 2 conjuntos cerrados y finitos, y no disjuntos, solo puedo agarrar elementos de A o de B o de Ambos , (y aca les puse la definicion de union, interseccion y diferencia , y aclare que \(A \nsubseteq B\) y que tampoco \(B \nsubseteq A\)
Me trabe en el 3, cuando quiero probarlo por induccion, en el paso inductivo, me queda que tengo que ver que: \(2304\left|7^{2n}-48n-1\Rightarrow2304\left|7^{2(n+1)}-48(n+1)-1\)
llegué a que \(7^{2(n+1)}-48(n+1)-1=(7^{2n}-48n-1)7^{2}+48n7^{2}+7^{2}-48n+47\) donde a la derecha del igual tengo la hipotesis inductiva...pero no sé como aplicarla y que es lo que me quedaria despues :S..
Fijate que debería quedarte \(48n\cdot {7}^{2}+{7}^{2}-48n-49\eq=48n\cdot {7}^{2}-48n\)(un error en la distribución, fijate bien.). Si probás \(2304|48n\cdot {7}^{2}-48n\) ya estás. Como \(48n\cdot {7}^{2}-48n\eq=48n({7}^{2}-1)\eq=48n\cdot 48\eq=2304n\), se verifica lo que querés de manera trivial.
Igual, cuando veas teorema chino del resto, seguro que te va a salir sin inducción. Sin embargo, en este caso es más económica la inducción. En fin, está bien esto que hiciste; no te terminaba de salir por una cuenta.
Saludos
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Fijate que debería quedarte \(48n\cdot {7}^{2}+{7}^{2}-48n-49\eq=48n\cdot {7}^{2}-48n\)(un error en la distribución, fijate bien.). Si probás \(2304|48n\cdot {7}^{2}-48n\) ya estás. Como \(48n\cdot {7}^{2}-48n\eq=48n({7}^{2}-1)\eq=48n\cdot 48\eq=2304n\), se verifica lo que querés de manera trivial.
Igual, cuando veas teorema chino del resto, seguro que te va a salir sin inducción. Sin embargo, en este caso es más económica la inducción. En fin, está bien esto que hiciste; no te terminaba de salir por una cuenta.
Saludos
en el de los conjuntos, son 7 conjuntos distintos más 1 que vendria a ser el "vacio"? porque solo consegui 7 conjuntos distintos, y no veo que haya mas :S..
No se si ya fueron resueltos, recien me di cuenta de que el post es viejo. Yo igual estoy resolviendo el 1 =P
Aca va la solución del 1. No se si está bien.
Ejercicio1
$$\textrm{1. Sea $ A = \{ n \in \mathbb{N} : n $ divide a $60^8$\}. Se {d}efine en $ A $ la siguiente relacion: }$$
$$a R b \Leftrightarrow ( a : b ) > 1$$
$$\textrm{Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica, transitiva.}$$
Reflexividad: \(a R a \Leftrightarrow ( a : a ) > 1\)
Contraejemplo
***** \(1|n \quad\forall{n\in{\mathbb{N}}}\Rightarrow 1|60^8 \Rightarrow 1 \in{A}\)
***** Pero \(( 1 : 1 ) = 1\)
Simetría: \(a R b \Rightarrow b R a \Leftrightarrow ( a : b ) > 1 \Rightarrow ( b : a ) > 1\)
***** Si \(a R b \Rightarrow ( a : b ) = d > 1\)
$$d|a \land d|b$$
Si \(c|a \land c|b \Rightarrow c|d\)
Entonces, por la simetría del \(\land\) también
$$d|b \land d|a$$
Si \(c|b \land c|a \Rightarrow c|d\)
Luego \(( b : a ) = d > 1\Rightarrow b R a\)
Antisimetría: \(a R b \land b R a\Rightarrow a=b \Leftrightarrow ( a : b ) > 1 \land ( b : a ) > 1 \Rightarrow a=b\)
Contraejemplos
***** \(2|60^8\) pues \(60^8=2(2^730^8)\quad\Rightarrow\quad2\in{A}\)
***** \(10|60^8\) pues \(60^8=10(10^76^8)\quad\Rightarrow\quad10\in{A}\)
\((2:10)=2>1\) y \((10:2)=2>1\), pero \(2\neq10\)
Transitividad: \(a R b \land b R c\Rightarrow a R c \Leftrightarrow ( a : b ) > 1 \land ( b : c ) > 1 \Rightarrow (a:c)>1\)
Contraejemplo
***** \(5|60^8\) pues \(60^8=5(5^712^8)\quad\Rightarrow\quad5\in{A}\)
\((2:10)=2>1\) y \((10:5)=5>1\), pero \((2:5)=1\)
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Podria alguien realizar algo un poco mas especifico respecto del ejercicio (4), el de uniones/intersecciones/etc.
Es facil ver cuales son los 8 conjuntos; pero realmente por mas que leo lo que Quimey comento; no logro entender que es lo que habria que hacer... ¿Como es eso de la induccion sobre la cantidad de operaciones que se realizan sobre dos conjuntos A y B?
Se me hizo muy confuso el ejercicio!
\(Si \; a \; \equiv {14} \; (31) \Rightarrow \; 31 \; es \; el \; MCD. \; Sino, \; 1 \; es \; el \; MCD.\)
Consulta...
Cuando obtengo \({a} \equiv 14 \left( 31 \right)\) tengo la opcion de reemplazar en las segunda ecuacion como realizate vos pero... ¿no pierdo resultados? Pues si digo...
\(3.{a}^{2} - 2.{a} - 2 \equiv 0 \left( 31 \right) \Rightarrow\) (Reemplazo en \({a}\), pero NO en \({a}^{2} \Rightarrow 3.{a}^{2} \equiv 10 \left( 31 \right)\)
Hago la tablita para \({a}^{2}\) y obtendre que.. \({a} \equiv 14 \left( 31 \right)\) o \({a} \equiv 18 \left( 31 \right)\).
¿No serian estos dos los resultados?
