1.- Sea \(I\)= \(\lbrace m \in \mathbb N / m\) es impar \(\rbrace\) y sea \(h: I \longrightarrow \mathbb N\) la función definida por
\(h(m)\) = \(\frac{m+1}{2}+{(-1)}^{\frac{m-1}{2}}\)
Probar que \(h\) es biyectiva.
2.- Sea \(H\) el conjunto de todas las funciones de \(\mathbb Z\) en \(\mathbb Z\). Definimos la relación \(\simeq\) en \(H\) en la forma:
\(\psi\simeq\varphi \Leftrightarrow \lbrace a\in \mathbb Z/\psi(a)\neq\varphi(a)\rbrace\) es un conjunto finito.
Probar que \(\simeq\) es un arelación de equivalencia en \(H\).
5.- Hallar todos los \(n\in\mathbb N\) tales que \({n}^{2}+n+1\vert{n}^{3}+n+9\)
Estos son los tres puntos que no pude resolver. El primero lo tengo regular menos pero está bastante desprolijo. Quisiera pedirles ayuda, porque quiero ver cómo se hacen. El que pueda colaborar muchas gracias! Ahora voy a postear los tres que pude resolver y que están bien. Saludos!!
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"When a heart is broken there's nothing to break"...Carito!
5.- Hallar todos los \(n\in\mathbb N\) tales que \({n}^{2}+n+1\vert{n}^{3}+n+9\)
Resuelvo ese que es el que más rápido me sale. Después si encuentro un tiempito, pruebo hacer los otros dos.
\(n^2+n+1 | n^2+n+1 \Rightarrow n^2+n+1| n\cdot(n^2+n+1) = n^3 + n^2 + n\) (Si un número divide a otro, también divide a sus múltiplos). Además, \(n^2+n+1 | n^3 + n + 9\). Luego, \(n^2+n+1 | n^3 + n^2 + n - (n^3 + n + 9) = n^2 - 9\) (Si un número divide a dos números, también divide a su resta). Como ya dijimos, \(n^2+n+1 | n^2+n+1\), entonces \(n^2+n+1 | n^2+n+1 - (n^2 - 9) = n + 10\). Como \(n \in \mathbb{N}\), debe ser \(n^2+n+1 \leq n + 10 \Leftrightarrow n^2+1 \leq 10 \Leftrightarrow n^2 \leq 9 \Leftrightarrow n \in \{1, 2, 3\}\).
Ahora resta probar cuáles de los números en ese conjunto cumplen.
\(n = 1 \Rightarrow 3 | 11\) lo cual es absurdo \(\Rightarrow n \neq 1\)
\(n = 2 \Rightarrow 7 | 19\) lo cual es absurdo \(\Rightarrow n \neq 2\)
\(n = 3 \Rightarrow 13 | 39\) lo cual es cierto, pues \(13 \cdot 3 = 39\).
Luego, la respuesta es {3}
Está un poco desprolijo, la verdad. Después lo ordeno un poco más. Si no se entiende algo decime.
Te dejo una pista para el \(1\) y el \(2\), cuando tenga más tiempo veo si puedo encontrar mi parcial y copiártelos que los había escrito con todas las cuentitas y eso :p.
En el primer ejercicio para que sea biyectiva tiene que ser inyectiva y suryectiva a la vez. Planteá la definición de inyectiva y fijate si la cumple, planteá la definición de suryectiva y fijate si la cumple. El truco de este ejercicio es al ser m impar, \(\frac{m \pm 1}{2}\) puede ser par o impar dependiendo del valor de \(m\). Planteá los diferentes casos y vas a ver qué onda con el ejercicio.
En el segundo ejercicio es básicamente plantear las definiciones de qué es ser una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) y ver qué pasa con cada caso. El único más o menos raro es el de ser transitiva. Recordá que si \(a \neq b\) ; \(b \neq c\) ; entonces no necesariamente \(a \neq c\). (suponé \(a=4\), \(b=2\), \(c=4\)). Pero si \(a=c\) se vuelve al caso de la simetría, cosa que ya probamos (o deberíamos 😛).
Bueno, mucha chachara... después pongo los números.
Gracias Santiago por la ayuda! Voy a ver qué sale de esto. Igual tengo problemas para ver si es suryeciva, no se cómo plantearlo, si alguién puede aportar algo, gracias!! Saludos!
Como \(\frac{m-1}{2}\) es par, \(\frac{m+1}{2}\) es par. Entonces \(\frac{m+1}{2} + 1\) es par.
Tenemos que \(b_1\) entonces son todos los pares\(\in \mathbb{N}\). Los pares se pueden caracterizar de la forma \(2k\) entonces:
$$2k = \frac{m+1}{2} + 1$$
$$(2k - 1) . 2 = m+1$$
$$m = 4k - 3$$
Entonces para todo m se puede generar un \(k\) natural para que \(b_1\)sea todos los pares. (probá poniendo todo \(m=1,5,9,\)etc. (esto es para que \(\frac{m-1}{2}\) sea par) te va a ir tirando los posibles valores de k que buscás para generarte todos los pares)
caso ii.) \(\frac{m-1}{2}\) es impar [\(m=3,7,11,\)etc]
Como \(\frac{m-1}{2}\) es impar, \(\frac{m+1}{2}\) es impar. Entonces \(\frac{m+1}{2} -1\) es impar. Tenemos que \(b_2\) entonces son todos los impares \(\in \mathbb{N}\). Los impares se pueden caracterizar de la forma \(2k-1\) entonces:
$$2k-1 = \frac{m+1}{2} - 1$$
$$m = 4k-1$$
Entonces para todo m se puede generar un \(k\) natural para que \(b_1\) sea todos los impares. (probá poniendo todo \(m=3,7,11,\)etc. (esto es para que \(\frac{m-1}{2}\) sea impar) te va a ir tirando los posibles valores de k que buscás para generarte todos los impares)
Como \(b_1\) son todos los pares y \(b_2\) son todos los impares; entonces \(b\) (llamando \(b\) a la unión de ambos subespacios \(b_1\) y \(b_2\)) son todos los números naturales. Por lo tanto \(h\) es suryectiva.
Sea \({k}\) impar, \({q}\) impar; los expreso en la forma \(\Rightarrow {k'} = 2 . {k'} - 1\) y \({q'} = 2 . {q'} - 1\). Reemplazo en la ecuacion de \({H}\):
Sea \({k}\) par, \({q}\) impar; los expreso en la forma \(\Rightarrow {k'} = 2 . {k'}\) y \({q'} = 2 . {q'} - 1\). Reemplazo en la ecuacion de \({H}\):
\(\Rightarrow {H}\) es Inyectiva. ¿Es suficiente lo que plantee para probarlo o falta algo? Me da algo de inseguridad el hecho de que, por ejemplo, para el caso de los pares solo digo: "LOS PARES ME LLEVAN A LOS PARES" pero en ningun momento queda claro que efectivamente todo par va a llevar a su par inmediato superior.
• Suryectividad:
Sea \({k}\) par, lo expreso en la forma \(\Rightarrow {k'} = 2 . {k'}\). Reemplazo en la ecuacion de \({H}\):
\(2.{k'} + 1 + {\left( -1 \left)}^{2.{k'}} \Rightarrow 2.{k'} + 2\) pues \({\left( -1 \left)}^{2.{k'}}\) siempre sera PAR.
\(2.{k'} + 2\) es PAR; por lo tanto a partir de los pares obtendre todos los pares.
Sea \({k}\) impar, lo expreso en la forma \(\Rightarrow {k'} = 2 . {k'} - 1\). Reemplazo en la ecuacion de \({H}\):
\(2.{k'} -1 + 1 + {\left( -1 \left)}^{2.{k'} - 1} \Rightarrow 2.{k'} + 1\) pues \({\left( -1 \left)}^{2.{k'} - 1}\) siempre sera IMPAR.
\(2.{k'} + 1\) es IMPAR; por lo tanto a partir de los impares obtendre todos los impares.
\(\Rightarrow {H}\) es Suryectiva. ¿Es suficiente lo que plantee para probarlo o falta algo? Me planteo el mismo dilema que para la Inyectividad!
(Ejercicio 2) : ¿Me podrian especificar un poco respecto a como probar la Transitividad? Como dijeron, para el caso \({a} , {b} , {c}\)
Si \({a} = {c}\) se vuelve al caso de la simetría, pero si \({a} \neq {b} , {b} \neq {c} \Rightarrow\) ¿Como lo pruebo?