Hola!. Hace un tiempo que vengo leyendo este foro y la verdad me resulto bastante útil. Me gustaría, en lo posible, ayudar de alguna manera. Acá dejo un segundo parcial que tomaron este cuatrimestre. En la medida que pueda, voy a intentar de subir algunos de los problemas "resueltos". Por supuesto que son bienvenidas las resoluciones que se les vayan ocurriendo!. Saludos 🙂
$$\textrm{1. Determinar todos los $y \in \{ 1,2,...,99,100\} $ para los cuales existe $ X \equiv 4(5)$ tal que $ 6x + 21y = 15 $. }$$
$$\textrm{2. (a) Resolver en $ \mathbb{Z} $ cada una de las ecuaciones de congruencia siguientes: }$$
1.Hay varias formas de encarar el ejercicio, particularmente la que se me ocurrió nose si es la mas "amistosa". Pero, veamos:
Primero resolvemos la diofántica \($6x +21y = 15 $\) por el método que mas nos guste. De esta forma vamos a obtener todas las soluciones enteras de la ecuación.
Nos fijamos si \($(6:21) $ divide a $15$ \iff 3|15 $\). Luego, podemos asegurar que el sistema tiene soluciones, y son infinitas.
Dividiendo toda la ecuacion por el mcd, tenemos \($2x +7y = 5 $\). Ahora, buscamos una solución particular. Podemos ver que \($ (2:7) = 1$\) y usando el algoritmos de euclides ir despejando para obtener al 1 como combinacion lineal de ambos. En ese caso, no habría que olvidarse de multiplicar todo por 5. La otra forma, es ver una solución a ojo. Por ejemplo \($ x =-1 $ y $y =1 $\). Listo, solo falta encontrar las del homogeneo. De vuelta, hay varias formas. Veamos una:
Igualando la ecuacion a 0 tenemos que
$$$6x + 21y = 0$$$
$$$6x = -21y$$$
\($2x = -7y $\) (divido por (6:21)
Luego, por teorema fundamental de la aritmetica, sabemos que si ambos miembros de la ecuación son iguales, entonces el 2 debe aparecer en la factorización del numero -7y. Bien, entonces \($ 2|7y $ pero $2$ no divide a $7 \Rightarrow 2|y \iff y = 2k $\)
Ahora podemos reemplazar en la ecuación anterior:
Bueno, ahora que tenemos todo el espacio de soluciones enteras, podemos restrinjirlas con lo que nos piden. Buscamos:
$$$\begin{cases} X \equiv 6(7) \\ X\equiv 4(5) \end{cases}$$$
Si resolvemos el sistemita de arriba, por el método que mas les guste, obtenemos \($X\equiv 34(35)\)
Pero, también queremos que \($ y \in {1,2,...,99,100}$ y sabemos que $y = 2k +1$\) .Acotamos:
$$$1\leq 2k+1 \geq 100 $$$
$$$1\leq k \geq 49 $$$
Para los k en ese rango, tenemos \($-344\leq x \geq -1\). Si reemplazamos algunos valores de estos x, podemos despejar k y ver que \($K\equiv 0(5) $\). Se podría justificar esto sabiendo que, como \($X\equiv 34(35)\), estos siempre se "mueven" de igual forma, por tanto k esta siempre "controlado". Bueno, esto me parece muy informal pero no pude ver otra forma de decirlo :S.
Finalmente:
\($y = 2k +1 $ con $1\leq k \geq 49 $ y $K\equiv 0(5) \iff k =5t $ $ \Rightarrow y= 10t+1 \iff y \equiv 1(10)$\)