\(1)\) \(ARB \ si \ y \ solo \ si \ 2A \subseteq B \ siendo \ 2A= \{ 2.a / a \in A \}\)\(Ver \ si \ es \ simetrica, \ transitiva, \ antisimetrica \ y/o \ reflexiva\)
\(2)\)\(Probar \ que \ para \ todo \ n \geq 4 \sum_{\substack{i=1}}^n i! \geq 5.2^{n-1} -7\)
\(3)\)\(Sea \ A= \{ n \in \mathbb{N} : 100 \geq n \geq 1 \}\)
\(\ \ \ \\) \(a) Calcular \ todas \ las \ funciones \ posibles \ g:A->A \ biyectiva \ tal \ que:\)
\(\ \ \ \ \ \\) \(i) \ g(n) \leq 11 \ para \ n \leq 11\)
\(\ \ \ \ \ \\) \(i) \ g(n) \geq 91 \ para \ n \geq 91\)
\(\ \ \ \\) \(a) Calcular \ todas \ las \ funciones \ de \ a \ tal \ que \ g(n) \ es \ par \ para \ todo \ n \ par\)
\(4)\)\(Calcular \ (5^{n+1} - 3^n : 5^n + 3^{n+1}) \ para \ cada \ valor \ posible \ de \ n \in \mathbb{N}\)
El primero y el tercero ni idea, el tercero no hay nada con que compararlo de la practica, alguien lo hizo?
Te tiro lo que yo hice, creo y espero que este bien (no se usar Latex, algun dia aprendere).
i) Queres que los números del 1 al 11 vayan a parar a los números del 1 al 11 también, y te pide que la función sea biyectiva. Entonces para el numero 1 tenes 11 opciones, para el numero 2 tenes 10 opciones y así sucesivamente. Te quedan 11! formas que cumplen con lo pedido.
ii) Lo mismo pero tenes del numero 91 al 100, o sea son 10! formas.
Después tenes que ver que pasa con los números entre el 12 y el 90, que es el mismo razonamiento que antes. Tenes 79 números entre el 12 y el 90. Entonces te queda 79!
Así que en total tenes 11!*10!*79! funciones.
El item b es hacer casi lo mismo solo que mandas los pares en pares e impares en impares.
Gracias! parece correcto, eso de las funciones me mato, después de lo de las monedas de Melisa me estudie tanto eso que me cambiaron de tema y me dieron vuelta.
hola, (no se usar latex) , el unico punto que hice bien es el de induccion. el resto los hice a medias asi q no cuenta.
Blondah, no entiendo como esa resolucion teda la cantidad de funciones biyectiva.
hola, (no se usar latex) , el unico punto que hice bien es el de induccion. el resto los hice a medias asi q no cuenta.
Blondah, no entiendo como esa resolucion teda la cantidad de funciones biyectiva.
No soy muy buena explicando, pero para una función sea biyectiva la imagen debe ser todo el conjunto de llegada y cada n distinto debe ir a parar a un numero distinto. Entonces vos planteas, en el caso i, que todos los números que están entre el 1 y el 11 vayan a parar a los números entre el 1 y el 11. O sea que vos agarras el numero 1 y decís "bueno quiero que la imagen del 1 sea un numero entre el 1 y el 11, entonces tengo 11 opciones. Cuando queres ver que le pasa al 2, como la función es inyectiva, su imagen no puede ser la misma que le diste al 1, entonces tiene 11-1=10 opciones. Y seguís así con cada numero y cuando llegas al numero 11 te queda solo una opción. (Igual yo en la teórica en la guía de combinatoria vi un corolario que decía que si #A=#B=m entonces hay m! funciones biyectivas de A en B y cuando lei el parcial me acorde de ese corolario). De acá te salen que hay 11! forma de hacer esto. Lo mismo haces para el item ii y bueno, después ves que pasa con los números que están en el medio. Me lo pusieron bien.
Tene en cuenta que para la parte b se tiene que cumplir la del a tambien. Entonces te quedan los g pares menores a 11 con 5 posibles, los g pares mayores a 91 con 5 posibles valores, y de los 79 numeros restantes buscas los pares y haces lo mismo,
En el b tambien tenes que considerar los impares para que no vayan a parar al mismo numero, o sea para que siga siendo biyectiva. En total me quedaron 5!*6!*5!*5!*40!*39!
En el b, ella agrego los impares que yo no habia contado. Porque tiene que ser biyectiva. Entonces son todos los posibles g para los pares y los g para los impares. Se entiende?
Jajajaja o sea vos necesitas que los pares vayan a números pares. Entonces, en el caso i), tenias 5 pares y eran 5! formas. Pero vos tenes que considerar también que pasa con los números impares, porque si no pones nada respecto a estos, su imagen va a ser cualquier número del conjunto A y vos queres que los impares vayan también a los números entre el 1 y el 11 (porque se tiene que cumplir lo que te pedía el inciso a)). Entonces entre el 1 y el 11 tenes 6 números impares cuya imagen debe estar entre el 1 y el 11, entonces siguiendo el razonamiento del ejercicio, tenes 11! formas. Lo mismo para los casos entre el 91 y 100, y los números que están en el medio.
te conviene siempre tratar de imaginartelo de otra forma, con funciones suena re dificil.
Podrias pensarlo como permutar letras en una palabra, o de 100 bolitas elegir una para cada lugar (y usas lo del numero combinatorio y ves que te queda un factorial) lo de puddu es perfecto ese te salva la vida 😛
Hola. De nuevo. El punto 3 lo tengo re entendido, despues de todos sus comentarios gracias.
Tengo una duda acerca de los recuperatorios?( Si alguien podria contestarme seria grandioso)🙂
Yo en la cursada aprobe solamente el 2° Parcial, fui a recuperar el 1° Parcial (no lo aprobé como se notara),
Puedo presentarme para rendir otra vez el 1° Parcial el la próxima fecha ?? espero que alguien me saque la duda, así dejo o no de ilusionarme. gracias.....