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Tema

[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial 2012

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#1 inkosoft

\(1)\)\(f= X^4 - 6 \cdot X^3 + 11 \cdot X^2 - 2 \cdot X - 10\) Factorizar \(f\) en \(\mathbb{Q}[X]\) , \(\mathbb{R}[X]\) , \(\mathbb{C}[X]\). Sugerencia: dos de sus raices tiene producto igual a -2 y suma igual a 2.

\(2)\) Hallar los posibles restos de \(a\) modulo \(154\) sabiendo que \((3 \cdot a^{26} + 22 : 308) = 77.\)

\(3)\) Hallar todos los primos posibles positivos \(p\) para los cuales \(p|4^{p^2} - \frac {15^p}{3} - 9\)

\(4)\) Encontrar todos los \(z \in \mathbb{Q}\) que verifiquen la ecuacion \(z^4 + (1-i \cdot 3^{1/2}) \cdot \frac {\bar z^2}{|z|^2} = 0\)

\(5)\) Sea \(P = X^{2811} + X^{1324} - 5 \cdot ^{563} - 3 \cdot X^{444} - 4 \cdot X^2 - 4 \cdot X -2.\) Probar que \(X^4 + 2 \cdot X^2 + 1\) divide a \(P\)

Si alguien puede subir la resolucion de alguno, bienvenido sea (pedido indirecto). Aunque sea en palabras como hacerlo. Gracias

#2 Mr. Z

En el primero tenes que fijarte de despejar alguna raiz con los valores de los coeficientes, no es muy dificil, si no te sale lo intento hacer.

Para el 2 tenes que factorizar 308 y como sabes que 3a^26+22 es divisible por 77 de ahi intentar sacar una congruencia para 154, hay que usar teorema chino del resto, de vuelta si no te sale avisa y lo intento hacer.

Para el 3, sabes que 3 y 5 no dividen por linearidad de la division, ya que 15^p - 9 es divisible por 3 (y 5 respectivamente) pero 4^p no. El caso p = 2 hacelo a mano, y despues plantea para un p distinto de 2,3,5 usando Fermat.

En el 4 pasaria la suma para la derecha y plantearia "dos numeros complejos son iguales si sus modulos son iguales y sus argumentos son iguales".

5 intentaria factorizar el polinomio mas chico y ver si consigo alguna informacion que me deje ver si es divisible. (Si algo es raiz del polinomio de grado 4, tiene que ser raiz del otro, en particular todas tienen que serlo porque lo divide (o queres probarlo))

#3 Rozen

Tengo este examen hecho, de a poco subo lo que hice en cada uno, excepto el 3 q me dio paja xD

1)\(r_1.r_2 = -2\) y \(r_1 + r_2 = 2\) donde \(r_1,r_2,r_3,r_4\) son las raices de F
Entonces,

$$\left\{\begin{matrix} 6 = r_1+r_2+r_3 + r_4 \\ 11 = r_1.r_2 + r_1.r_3 + r_1.r_4 + r_2.r_3 + r_2.r_4 + r_3.r_4 \\ 2 = r_1.r_2.r_3 + r_1.r_2.r_4 + r_2.r_3.r_4 + r_1.r_3.r_4 \\ -10 = r_1.r_2.r_3.r_4 \end{matrix}\right.$$
$$-10 = r_1.r_2.r_3.r_4 \Rightarrow -10 = -2.r_3.r_4 \Rightarrow 5=r_3.r_4$$
$$6 = r_1+r_2+r_3 + r_4 \Rightarrow 6 = 2 +r_3 +r_4 \Rightarrow 4 = r_3+ r_4$$
$$\Rightarrow r_2 = 2-r_1$$
$$-2=(2-r_1).r_1 \Rightarrow -2 = 2r_1 - r_1^2 \Rightarrow r_1^2 - 2r_1 -2 = 0$$
Como \(r_1 = (2-r_2)\) y \(r_2=(2-r_1)\)

Entonces \(r_{1/2}=\frac{2\pm \sqrt(4-4(-2))}{2} = \frac{2\pm \sqrt 12}{2} = \frac{2\pm 2 \sqrt3}{2} = 1 \pm \sqrt3\)

$$r_3 = 4-r_4 \Rightarrow 5 =(4-r_4)r_4 \Rightarrow r_4^2 - 4r_4 +5 = 0$$
$$r_{3/4}=\frac{4\pm \sqrt(16-4.5)}{2} = \frac{4\pm \sqrt -4}{2} = \frac{4\pm 2 i}{2} = 1 \pm i$$

Ahora ya tengo las 4 raices, wiiii (?)

$$En \ \mathbb{C}[X]: f = (x-(1+ \sqrt 3)) (x-(1- \sqrt 3)) (x-(2+ i)) (x-(2- i))$$
$$En \ \mathbb{R}[X]: f = (x-(1+ \sqrt 3)) (x-(1- \sqrt 3)) (x^2 -4x +5)$$
\(En \ \mathbb{Q}[X]: f = (x^2 -2x -2)(x^2 -4x +5)\)
#4 inkosoft

Gracias. El 3 es justo el que no se ni por donde empezar, jaja

#5 inkosoft

No me sale ninguno la puta madre. Alguien los puede subir por favor.

#6 Rozen

por favor, postea las cosas en un solo post xD
2)\(77 = 7.11\)

$$308 = 2^2.7.11$$
yo quiero que \(2 \nmid 3a^{26} +22\) como \(2\mid 22\) Entonces \(2 \nmid 3a^{26}\) y como\(2 \nmid 3 \Rightarrow 2 \nmid a^{26}\Rightarrow a\equiv 1(2)\)
$$3a^{26 }\equiv -22(77)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3a^{26}\equiv -22(7) \\3a^{26}\equiv -22(11) \end{matrix}\right.$$
\(3a^{26}\equiv -22(7) \Rightarrow 3a^{26}\equiv 6(7) \Rightarrow 3a^{2}a^{24}\equiv 6(7)\) y por fermat si \((a:7)=1\) entonces \(3a^2 \equiv 6(7)\)
$$a^2\equiv 30(7) \Rightarrow a^2 \equiv 2(7)$$
haciendo una tabla del resto te queda que \(a \equiv 3(7)\) o \(a \equiv 4(7)\)
$$3a^{26} \equiv -12(11)\Rightarrow a\equiv 0(11)$$
Entonces tengo 2 posibilidades
$$\left\{\begin{matrix}a\equiv 1(2)\\ a\equiv 3(7)\\ a\equiv 0(11)\end{matrix}\right.$$
o
$$\left\{\begin{matrix}a\equiv 1(2)\\ a\equiv 4(7)\\ a\equiv 0(11)\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}a\equiv 11(22)\\ a\equiv 3(7)\end{matrix}\right.$$
o
$$\left\{\begin{matrix}a\equiv 11(22)\\ a\equiv 4(7)\end{matrix}\right.$$
tonces tirando numeros congrentes a 11 modulo 22 por TCR \(a \equiv 11(154)\) o \(a \equiv 143(154)\)

4)\(|z|^4 = \left | \frac{-(1-\sqrt3i)\bar{z^}^2}{|z|^2} \right | \Rightarrow |z|^4 =2 \Rightarrow |z|=\sqrt[4]{2}\)

$$\frac{\bar{z}^2}{|z|^2}=\frac{|z|^4}{z^2|z|^2} = \frac{|z|^2}{z^2}$$
$$z^4 = \frac{-(1-\sqrt3i)|z|^2}{z^2}\Rightarrow z^6 = -(1-\sqrt3i)|z|^2$$
Igualo argumentos
$$6arg(z)= arg(-1+\sqrt3i) +2k\pi \Rightarrow 6arg(z)=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \Rightarrow arg(6) = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}$$

y luego sacas las 6 soluciones ahora q tenes el argumento y el modulo

  1. Ahora no tengo tiempo xD
    pero te digo lo que hay que hacer, si el polinomio ese divide a P significa que las raices del polinomio son las raices de P, tonces sacas las raices del polinomio y prboas que son raices de P

Editado 2 veces.

#7 inkosoft

Jajaj, Rozen te amo. Por favor subi el resto si podes hoy, 😉. No entiendo muy bien cuando usas fermat. Me lo explicas por favor? Tampoco entiendo mucho el ultimo paso

#8 Rozen

por fermat \(a^{6q} \equiv 1 (7)\) si \((a:7) = 1\)
\(24 = 6.4\) xD

#9 inkosoft

Ahi entendi gracias miles. Igual no entiendo porque directamente lo sacas. Y porque es a congruente con 30 mod7 ? En el 4 te fallo el latex XD.