[A Resolver]Polinomio Segundo Parcial 2012

Sean \(a, \ b \ y \ c \in C\) raices del polinomio \(X^3 -3 X^2 + 4 X - 5\) Hallar un polinomio de grado 3 con raices \(a.b , a.c y b.c\) Aunque sea tiren como se hace que no tengo idea

Hay un teorema que expresa los coeficientes de un polinomio en función de las raíces (por ejemplo el termino independiente es (salvo un signo) el producto de las raíces). Tenés que usar este teorema.

Un error muy frecuente al empezar a resolver esta clase de problemas es intentar hallar las raíces de \(P\).

Lo que hay que hacer es:
Sean \(a,b,c\in \mathbb{C}\) raíces de \(P(x)={x}^{3}-3x^2+4x-5\) (Ec1)
Entonces, podemos escribir a \(P\) como: \(P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\)
Realizando distributiva queda: \(P(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc\) (Ec2)
Igualando coeficiente a coeficiente con (Ec1) y (Ec2) queda que:

Ahora recordemos que, el enunciado del problema pide un polinomio, lo llamemos \(T\), que verifique:

• Sus raíces son \(u=ab, v=ac\) y \(w=bc\)
• El grado de este polinomio es 3

Entonces para que cumpla todo esto \(T\) se debe escribir de la forma:
\(T(x)=k(x-u)(x-v)(x-w)\) (Ec3)
donde \(k\) es un número (puede ser complejo o real ya que no aclara nada el enunciado) distinto de cero (Fijate que esto verifica que sea de grado 3 y además sea distinto del polinomio nulo)
Realizando distributiva en (Ec3) queda:
\(T(x)=k\left[{x^3-(u+v+w)x^2+(uv+uw+vw)x-uvw}\left]\) (Ec4)
Donde:
\(u+v+w=ab+ac+bc\) y esto ya lo calculamos, es igual a \(4\)
\(uv+uw+vw=a^2bc+ab^2c+abc^2=abc(a+b+c)\) y esto también lo calculamos y es igual a: \(5.3=15\)
\(uvw=(abc)^2\) y esto ya lo calculamos y es: \(5^2=25\)

Entoces Listo!!! Fijate que reemplazando esto en (Ec4) queda que:
\(T(x)=k\left[{x^3-(u+v+w)x^2+(uv+uw+vw)x-uvw}\left]\) es ahora:
\(T(x)=k\left[{x^3-4x^2+15x-25}\left]\) donde \(k\in \mathbb{C}\) y es distinto de CERO
y estos son TODOS los polinomios que verifican:

• Sus raíces son \(u=ab, v=ac\) y \(w=bc\)
• El grado de este polinomio es 3

FIN

Entonces, como te habrás dado cuenta, no era necesario calcular las raíces de \(P\) para armar el polinomio \(T\)

Además si elegimos \(k\in \mathbb{R}\) (y distinto de cero), te queda que \(T\) es un polinomio con coeficientes en \(\mathbb{R}\), es decir: \(T\in\mathbb{R}[X]\)
Por ejemplo: si \(k=1\) te queda que \(T\) es mónico y es: \(T(x)=x^3-4x^2+15x-25\)

¡SALUDOS!

P/D: Acá abajo te adjunto una imagen con las raíces del polinomio \(P(x)={x}^{3}-3x^2+4x-5\). Tiene una real y otra compleja con su respectiva conjugada.

P/D: Acá te paso un link para que descargues más parciales o finales de Álgebra I: FDXMATHS.COM

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Buenisimo, gracias. La pagina ya lo conocia y la venia usando, esta muy buena.