2do parcial 6/12/2011

1. Determinar todos los \(a \in \mathbb{Z}\) que satisfacen:

2. Graficar en el plano complejo el conjunto de todos los \(z \in \mathbb{C} , z \neq 0\) que satisfacen \(\pi / 4 \leq arg((-1 -i)z^3) \leq 3\pi / 4\)

3. Sea \(w \in \mathbb{C}\) perteneciente a \(G_7\), \(w \neq 1\)
   a) Probar que \(z = w + w^2 + w^4\) es raiz del polinomio \(f = x^2 + x + 2\)
   b) Expresar la otra raiz del polinomio como suma de potencias de w

4. Determinar para que valores de \(a, b \in \mathbb{C}\) el polinomio

admite raices multiples en \(\mathbb{C}\). y para cada valor hallado determinar la multiplicidad de cada raiz.

5. Factorizar en \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) y \(\mathbb{C}[x]\) el polinomio

Sabiendo que la suma de tres de sus raices es igual a \(\sqrt{3} + 3\)

Necesitaría una mano con el primero. Lo arranque asi:
165 = 3.5.11
Entonces se cumple que:
(1)\(4a^{10} - a^{30} + 33 \equiv 0 (mod 3)\)
(2)\(4a^{10} - a^{30} + 33 \equiv 0 (mod 5)\)
(3)\(4a^{10} - a^{30} + 33 \equiv 0 (mod 11)\)

En (1): Si 3|a se cumple que la ecuacion es congruente a 0 mod 3.
Sino, \(a^2 \equiv 1 (mod 3)\) por Fermat. Luego, la ecuacion es congruente a 0 para todo a.

En (3): si 11|a, la ecuacion es congruente a 0 mod 11.
Sino, aplicando el PTF se ve que 11 no divide a la expresion, por lo tanto 11 divide a a.

En (2): Si 5|a quedaria \(33 \equiv 0 (mod 5)\), entonces 5 no divide a a.
Por Fermat, \(a^4 \equiv 1\) y queda:

Pero si \(3a^{2} + 3 \equiv 0 (mod 5)\) a no puede ser entero, y aca el problema que no comprendo como resolver.