[Resuelto] 2° Parcial - 1° Cuatrimestre 2011

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Problema 2
Notar que \(w^{60} = \left(w^{15}\right)^{4} = 1\). Por lo tanto ya sabemos que \(w \in G_{24} \cap G_{60} = G_{12}\). Pero entonces, es \(w^{15} = w^3\), es decir que \(w\) tiene que ser alguna de las raíces cúbicas de \(-i\), que son fáciles de calcular (una es \(i\), así que cualquier otra se obtiene multiplicando a \(i\) por un elemento de \(G_3\)).
Además estos tres números cumplen todas las condiciones: como \(w^3 = -i\), es \(w^{12} = 1\), y por lo tanto \(w^{15} = w^3 = -i\), \(w^{24} = 1\), que son las dos condiciones dadas.

Problema 5
\(f(x) = x^5-a^2x^3+ax^2-4a^2x+3a \Rightarrow f'(x) = 5x^4 - 3a^2x^2 + 2ax - 4a^2 \Rightarrow f''(x) = 20x^3 - 6a^2x + 2a\).
La condición es \(f(a)=f'(a)=0\), \(f''(a) \neq 0\).
\(f(a) = a^5 - a^5 + a^3 - 4a^3 + 3a = -3a^3 + 3a = 3a(1-a^2)\), para que esto se anule debe ser \(a=0,1,-1\).
\(f'(a) = 5a^4 - 3a^4 + 2a^2 - 4a^2 = 2a^4 - 2a^2 = 2a^2(a^2-1)\), que también se anula sólo en \(0,1,-1\).
\(f''(a) = 20a^3 - 6a^3 + 2a = 14a^3 + 2a = 2a(7a^2+1)\). De los números que nos interesan, el único que hace que sea \(f''(a)=0\) es el \(0\).
Por lo tanto los posibles valores de \(a\) son \(1\) y \(-1\).

Hola que tal?

Intente hacer el 1er ejercicio pero me trabé bastante al final, gracias de antemano:

Primero tengo \(315 = {3}^{2}.5.7\) y \(105 = 3.5.7\)
Estos valores factoreados me dicen que \({3}^{2}\) no divide a \({a}^{1525}-17\), que
3, 5 y 7 si dividen a \({a}^{1525}-17\)

Luego:

• \({a}^{1525}-17\equiv0 (3)\) ent \({a}^{1525}\equiv2 (3)\)
  Luego tengo dos posibilidades:
  Si 3|a ent \(a\equiv0 (3)\) ent \({a}^{1525}\equiv0\not\equiv2 (3)\) osea no es a lo que queria llegar
  Si \(3\nmid a\) ent por Fermat \({a}^{2}\equiv 1 (3)\) ent \({({a}^{2})}^{762}.a\equiv0\not\equiv2 (3)\) ent para obtener lo pedido no queda otra que \(a\equiv 2 (3)\)

• \({a}^{1525}-17\equiv0 (5)\) ent \({a}^{1525}\equiv2 (5)\)
  Luego tengo dos posibilidades:
  Si 5|a ent \(a\equiv0 (5)\) ent \({a}^{1525}\equiv0\not\equiv2 (5)\) osea no es a lo que queria llegar
  Si \(5\nmid a\) ent por Fermat \({a}^{4}\equiv 1 (5)\) ent \({({a}^{4})}^{381}.a\equiv a(5)\) ent para que obtener lo pedido no queda otra que \(a\equiv 2 (5)\)

• \({a}^{1525}-17\equiv0 (7)\) ent \({a}^{1525}\equiv3 (7)\)
  Luego tengo dos posibilidades:
  *Si 7|a ent \(a\equiv0 (7)\) ent \({a}^{1525}\equiv0\not\equiv3 (7)\) osea no es a lo que queria llegar
  *Si \(7\nmid a\) ent por Fermat \({a}^{6}\equiv 1 (7)\) ent \({({a}^{6})}^{254}.a\equiv a (7)\) ent para obtener lo pedido no queda otra que \(a\equiv 3 (7)\)

• \({a}^{1525}-17\not\equiv0 ({3}^{2})\) ent \({a}^{1525}\not\equiv 8({3}^{2})\) luego,
  *Si \((a:{3}^{2}) = 1\) x Euler \(\varphi({3}^{2})=({3}^{2-1}).(2-1)=3\) ent
  \({a}^{\varphi({3}^{2})}\equiv1({3}^{2})\) ent \({a}^{3}\equiv1({3}^{2})\)
  luego \({({a}^{3})}^{508}.a \equiv a({3}^{2})\) ent para obtener lo pedido no queda otra que \(a\not\equiv 8 ({3}^{2})\)

  • Si \((a:{3}^{2}) \neq1\) ent 9|a o 3|a:
    -si 9|a ent \({a}^{1525}\equiv0\not\equiv8({3}^{2})\) perfecto con esto no hay problema.
    -si 3|a ent \({({a}^{3})}^{508}.a\equiv0\not\equiv8({3}^{2})\) ent tampoco hay problemas con este caso.

entonces me queda:

luego usando el Teorema chino del resto
me queda que \(a\equiv17(105)\) osea que el resto de dividir a por 105 es 17.
Pero lo que me piden es el resto de dividir a por 315 pero no le encontre la vuelta de como encarar el ejercicio de acá en adelante, no se si usar que en el caso de que \((a:{3}^{2}) = 1\) se tiene que cumplir que \(a\not\equiv 8 ({3}^{2})\), pero para poder aplicar el Teorema chino del resto tendria que descartar \(a\equiv2(3)\).

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Hola, Problema 3

A simple vista se ve que \(z=0\) es solución. Veamos cuando es distinto de 0:
Para que se cumpla la igualdad, debemos igualar módulos y argumentos. Trabajemos con los módulos, usando propiedades de módulo:
\(\vert \overline{z^{2}}(\sqrt{3}+i)\vert=\vert \overline{z^{2}}\vert \vert (\sqrt{3}+i) \vert\). Sabiendo que \(\vert \overline{z}\vert=\vert z \vert\), reemplazando nos queda:

. Para la otra parte: \(\vert z \vert z \vert \left(1+i\right) \sqrt {2} \vert\), nuevamente usado las propiedades de módulo: \(\vert z\vert\vert z\vert \vert 1+i\vert \vert\sqrt{2}\vert=\vert z\vert ^{2}\sqrt^{2}\sqrt^{2}=2\vert z\vert\). Nos quedó lo mismo para cada parte, por lo tanto la igualdad de módulos se cumple siempre. Para los argumentos: trabajando la primer parte de la igualdad (usando el teorema de De Moivre) . Para la otra parte: Como \(\sqrt{2}\in \mathbb{R}_{>0}\), su argumento es \(0\). Lo mismo para \(\vert z\vert\). Por otro lado \(\arg\left(1+i\right)=\frac{\pi}{4}\) y Igualando ambas expresiones y reemplazando esto último, llegamos a: Teniendo en cuenta que \(0\leq arg\left(z\right)<2\pi\) y haciendo las cuentas, llegamos a que:

Finalmente, la respuesta es:
\(z=r\left(cos \frac{\left(24k-1\right)\pi} {36} + i sin\frac{\left(24k-1\right)\pi} {36}\right)\), con
\(\left(1\leq k\leq 3\right)\) y \(r\in \mathbb {R}_{\geq 0}\)
Cualquier error avisen nomás!

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Para el 4:
Sabemos que \(\sqrt{p}\) es raíz de \(f\). Como \(f \in \mathbb {Q}\), entonces \(-\sqrt {p}\) también lo es. Por lo tanto se cumplirá que
\(f\left(\sqrt{p}\right)=f\left(-\sqrt{p}\right)=0\).
Sumando
\(f\left(\sqrt{p}\right)\) y \(f\left(-\sqrt{p}\right)\), nos queda:
\(6p^{2}-16p-6=0\), de las dos raíces que obtenemos, la que nos sirve es \(p=3\) ya que la otra es una fracción, por lo tanto ahora sabemos que el primo \(p\) es \(3\).
Por lo tanto \(\left(x-\sqrt{3}\right)\vert f\) y \(\left(x+\sqrt{3}\right)\vert f\), luego
\(\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\vert f\), es decir \(\left(x^{2} -3\right)\vert f\).
Haciendo la división, se llega a que
\(f=\left(x^{2}-3\right)\left(2x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)\), llamemos \(g=2x^{3}+3x^{2}+3x+1\).
Para factorizar a \(g\) usemos el criterio de Gauss, de ahí se obtiene \(\x=\frac{-1}{2}\)
como raíz. Usando Ruffini, nos queda \(g=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^{2}}+x+1\right)\).
Por último, \(\left(x^{2}}+x+1\right)= \left(x-w\right)\left(x-\overline{w}\right)\), con
\(w\in \mathbb {C}\).
Finalmente:
FACTORIZACIÓN EN \(\mathbb {Q}[x]\): \(f=2\left(x^{2}-3\right)\left(x+\frac {1}{2}\right)\left(x^{2}}+x+1\right)\), por ser un producto de monomios o polinomios de grado 2 que no tienen raíces en \(\mathbb {Q}\), por lo que son irreducibles.
FACTORIZACIÓN EN \(\mathbb {R}[x]\): \(f=2\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x+\frac {1}{2}\right)\left(x^{2}}+x+1\right)\),por ser producto de monomios, o polinomios de grado 2 que no tiene raíces en \(\mathbb {R}\), por lo que sin irreducibles.
FACTORIZACIÓN EN \(\mathbb {C}[x]\): \(f=2\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x+\frac {1}{2}\right)\left(x-w\right)\left(x-\overline{w}\right)\), por ser un producto de monomios los cuales son irreducibles.

Observación: \(w=\frac{-1}{2} + \frac {\sqrt{3}}{2} i\)
Saludos!

Alexis, a lo mejor está mal lo que digo, pero me parece q "a" tiene que ser congruente a 2 módulo 5, y a 3 módulo 7, o sea, al revés de lo que pusiste...

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Alexis escribió:

Sí, tenés razón, ahí lo arreglo en el post anterior, gracias por la corrección 😛.

Se agradece con creces Alexis. Me estaba volviendo loco con este ejercicio.

Saludos, Mariano.