[Resuelto] Recuperatorio del Primer Parcial, 15/07/2011

1. Sea \(\mathcal {R}\) la relación definida por:
   

   $$a\mathcal {R}b \Leftrightarrow 8\vert 3a+5b$$
   
   i) Probar que \(\mathcal {R}\) es una relación de equivalencia.
   ii) Hallar todos los \(a\in \mathbb {Z}\) tales que \(\left(2a^{2}\right)\mathcal{R} \left(a-3)\).

2. Demostrar que para todo \(n\in \mathbb {N}\) se cumple:
   

   $$\sum ^{n-1}_{k=0} \left(n-k\right)2^{k}=2\left(2^{n}-1\right)-n$$

3. Sea \(A={n\in \mathbb {N}/1\leq n \leq 100}\). Calcular la cantidad de matrices de \(10 \times 10\) con coeficientes en \(A\) que cumplen simultáneamente:
   I) Los elementos de la diagonal suman 100.
   II) Los elementos de arriba de la diagonal son divisibles por 6.
   III) Los elementos de abajo de la diagonal son impares.

4. Sea \(n\in \mathbb {N}\). Probar que si \(n\) es impar, entonces
   \(\left(7n + 2^{n+1}:3n-2^{n}\right)=\)\(1\) ó \(13\).
   Dar, además, un ejemplo con de cual de 1 y otro con el cual de 13-

5. Se define recursivamente la sucesión \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mahbb {N}_{0}}\) de la siguiente manera:
   \(a_{0} =1\); \(a_{1} = 1\); \(a_{n} = 6a_{n-1} - 27a_{n-2}\) para todo \(n\geq 2\).
   Probar que para todo \(n\in \mathbb{N}\),
   \(3^{n-1}\vert a_{n}\) pero \(3^{n}\nmid a_{n}\)

Editado 1 vez.

Editado 1 vez.

Para el 3:
Para los elementos de la diagonal: me pide que la traza sea igual a 100, como los coeficientes son números naturales, sabemos que no podrá haber ningún 0. La manera en que lo pensé yo es como un problema de "cajas y bolitas". Por ende, para satisfacer la restricción recién comentada, debo colocar una bolita en cada caja (de modo de asegurarme que ninguna quede vacía), luego me quedan 90 bolitas para distribuir en diez cajas, lo cual lo puedo hacer de

maneras. Para los elementos de arriba de la diagonal durante el parcial aclararon que podía repetirse coeficientes, como hay 16 múltiplos de 6 dentro del conjunto A, esto lo puedo hacer de \(16^{45}\) formas (ya que la cantidad de elementos por debajo de la diagonal es 45) Para los elementos de abajo de la diagonal similar al anterior, como dentro de A hay 50 número impares, lo puedo hacer de \(50^{45}\) formas.

Como las estas condiciones se deben cumplir simultáneamente, entonces tengo:

formas de hacerlo.

Para el 4:
Sea \(d\in \mathbb {N}\) el mcd, usando propiedades de este, se llega a que \(d\vert 13n\) y que \(d\vert 13\times 2^{n+1}\), entonces \(d\vert \left(13n:13\times 2^{n+1}\right)\Leftrightarrow 13\left(n:2^{n+1}\right)\). Como \(n\) es impar, entonces no tiene al \(2\) dentro de su factorización en primos, por lo tanto \(\left(n:2^{n+1}\right)=1\), luego \(d\vert 13\) y como \(13\) es primo, entonces \(d=13\) ó \(d=1\) que es lo que queríamos probar.

Para la parte de los ejemplos, haciendo cuentas se puede ver que (siendo
\(n=2k+1 \left(k\in \mathbb {Z}\right)\)),

\(\Leftrightarrow k\equiv 5 \left(mod 13\right)\). Como estos posibles \(k\) también verifican que \(13\vert 7n+2^{n+1}\) Por lo tanto un ejemplo posible para \(d=13\) es cuando \(n=11\) Para \(d=1\) un ejemplo posible es cuando \(n=5\)

Cualquier error avisen!

mmm el 2 como lo hiciste?

Para el 2 usá inducción.
Si te molesta el n+1 adentro de la sumatoria para hacer el paso inductivo, hacés distributiva y "sacás el 1" en otra sumatoria.

Saludos.

Ej. 4:
No me quedo claro una parte de tu resolucion..

fedebay escribió:

Para la parte de los ejemplos, haciendo cuentas se puede ver que (siendo \(n=2k+1 \left(k\in \mathbb {Z}\right)\)),
\(3\left(2k+1\right)-2^{\left(2k+1\right)}\equiv 0 \left(mod 13\right)\Leftrightarrow k\equiv 5 \left(mod 13\right)\)

como encontraste k? la unica manera que se me ocurrio fue haciendo una tabla de restos de modulo 13
siendo \(6k+3\equiv2^{2k+1}(13)\)

Estoy seguro que tiene que haber alguna manera de simplificar la ecuacion de congruencia...

Simplifique un poco la tabla haciendo un cambio de variable....
Pero sigo creyendo que tiene que haber alguna operacion para despejar la k.

\(3(2k+1)\equiv2^{2k+1}(13)\)

cambio de variable: \(t=2k+1\)

armar la siguiente tabla:

luego, \(t=11=2k+1\Rightarrow\mathbf{k=5}\)

pero si extendes la tabla observaras que no se repiten sincronicamente,
sino que \(3t\) se repite cada 13 por ser el modulo, es decir, \(3t\equiv3(t+13)(13)\),
pero \(2^{t}\) se repite cada 12 dado que \(2^{t}\equiv2^{t}2^{12}(13)\),
(por el PTF)

entonces no vale la vuelta, porque 5 es un posible valor entre otros... (20, 22, ... por ej)

los posibles n cumplen lo siguiente:

\(n\equiv8(13)\wedge n\equiv11(12)\)

estos valores los saque armando una planilla, porque no encuentro la manera de llegar a las soluciones por medio de deducciones
🙁