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[Resuelto] 2do Recuperatorio - 2do parcial 15/12/2010

3 respuestas 6969 visitas 2010-12-22

#1 KillSchrodingerCat 2010-12-22 17:39

Ahora que hay Latex nuevamente, dejo el segundo recuperatorio que tomaron.

\text{1)Determinar todos los}\ n\in\mathbb{N}\ \text{tales que}\ [n:36]=15\cdot{36} \ \text{y calcular la suma de todos los divisores positivos del valor m\'as grande hallado.}

\text{2)Determinar todos los}\ a\in\mathbb{Z} \ \text{que satisfacen que} \ (5a^{7}+2:2\cdot{3\cdot{5^{2}\cdot{7}}})=3\cdot{7}

\text{3)Calcular todos los} \ z\in\mathbb{Z} \ \text{que satisfacen} \ (z^{2}-4)^{3}=(z-i)^{3}(z+2)^{3}

\text{4)Calcular todos los} \ a\in\mathbb{Q} \ \text{para los cuales el polinomio} \ f=X^{4}-\frac{4}{3}X^{3}-2X^{2}+4X+a \ \ \ \text{tiene al menos una ra\'iz m\'ultiple racional, y para cada} \ a \ \text{hallado factorizar el polinomio obtenido en} \ \mathbb{C}[X]

\text{5)Se sabe que el polinomio} \ f=X^{3}+3X-10\sqrt{2}i \ \ \ \text{tiene dos ra\'ices complejas que suman} \ 2\sqrt{2}i \ \text{. Factorizarlo en} \ \mathbb{C}[X]

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Werner Heisenberg
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#2 KillSchrodingerCat 2010-12-22 18:35

$$1)$$

\(36=2^{2}\cdot{3^{2}} \ \ \ \Rightarrow 15\cdot{36}=2^{2}\cdot{3^{3}\cdot{5}}\)

Entonces se tiene:

[n:2^{2}\cdot{3^{2}}]=2^{2}\cdot{3^{3}\cdot{5}}

Entonces, los \(n\) posibles son:

n_{1}=3^{3}\cdot{5}

n_{2}=2\cdot{3^{3}\cdot{5}}

n_{3}=2^{2}\cdot{3^{3}\cdot{5}}

El mas groso, obviamente es \(n_{3}\). Para calcular la suma de los divisores, observamos que tenemos a \(n\) factorizado como producto de primos. Los divisores de \(n\) serán de la forma:

\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{3}\sum_{k=0}^{1} 2^{i}\cdot{3^{j}}\cdot{5^{k}}

Entonces dicha suma (usando la geométrica o haciéndolo a mano) es \(1680\)

$$2)$$

Veo para que valores de \(a\) \(3\cdot{7}\) divide a \(5a^{7}+2\)

Como 3 y 7 son primos veo las congruencias según el módulo 3 primero y según el módulo 7 despues:

5a^{7}+2\equiv_{(3)} \implies \ 5a^{7}\equiv_{(3)} 1 \implies \ 2\cdot{5a^{7}}\equiv_{(3)} 2 \implies \ a^{7}\equiv 2 (7)

Ahora usando el PTF:

a^{7}\equiv_{(3)}a^{3}\cdot{a^{3}\cdot{a}}\equiv_{(3)} a \implies \ a\equiv 2(3)

Razonando de manera análoga para la congruencia según el módulo 7:ç

a\equiv 1 (7)

Ahora queremos que ni 5 ni 2 dividan a \(5a^{7}+2\):

5 claramente no lo divide, pues \(5a^{7}+2\equiv 2 (5)\)

Veo la congruencia según el módulo 2:

5a^{7}+2\equiv_{(2)} a^{7} \equiv_{(2)} a

Como queremos que 2 no divida a \(5a^{7}+2\)

entonces debe ser:

a\equiv 1 (2)

Queda a resolver el sistema:

\begin{Bmatrix}a\equiv 2 (3) \\ a\equiv 1 (7) \\ a\equiv 1 (2)\end{matrix}

Se tiene entonces como solución al sistema:

\(a\equiv 29(42)\)

$$3)$$

En este hay que darse cuenta que del lado izquierdo de la igualdad se tiene una diferencia de cuadrados entonces:

(z^{2}-4)^{3}=(z+2)^{3}(z-2)^{3}

\(z=-2\) es una posible solución, pero si \(z\neq -2\):

queda a resolver:

(z-2)^{3}=(z-i)^{3}

Y acá hay que darse cuenta que \(z=i\) no es solución, entonces:

(\frac{z-2}{z-i})^{3}=1

Entonces hay que buscar las raíces cúbicas de la unidad y después despejar \(z\). Es un terrible dolor de testículos pero quedan los \(z\):

z_{0}=-2

z_{1}=\frac{\sqrt{3}+6}{6}+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}i

\(z_{2}=\frac{-\sqrt{3}+6}{6}+\frac{3-2\sqrt{3}}{6}i\)

$$4)$$

Se tiene:

f(X)=X^{4}-\frac{4}{3}X^{3}-2X^{2}+4X+a

Como quiero raíces múltiples, derivo y se me va el molesto \(a\):

f'(X)=4(X^{3}-X^{2}-X+1)

Con Gauss se obtiene que \(x=1\) y \(x=-1\) son raíces.

Reemplazando en el polinomio original se obtienen 2 valores de \(a\):

a_{1}=-\frac{5}{3}

a_{2}=\frac{11}{3}

Entonces obtenemos dos posibles polinomios:

f_{1}(X)=X^{4}-\frac{4}{3}X^{3}-2X^{2}+4X-\frac{5}{3}

f_{2}(X)=X^{4}-\frac{4}{3}X^{3}-2X^{2}+4X+\frac{11}{3}

Como \(1\) y \(-1\) son raíces dobles de\(f_{1}\) y \(f_{2}\) respectivamente, dividimos a cada uno por \((x-1)^{2}\) y \((x+1)^{2}\) respectivamente, obteniendo 2 polinomios cuadráticos. Conla fórmula hallamos las raíces y nos quedan factorizados:

f_{1}(X)=(X-1)^{3}\cdot{X+\frac{5}{3}}

\(f_{2}(X)=(X+1)^{2}\cdot{(X-(\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{8}{9}}i))\cdot{X-(\frac{5}{3}-\sqrt{\frac{8}{9}}i)}}\)

$$5)$$

Sea \(g(X)=X^{3}+3X-10\sqrt{2}i\)

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) las raíces de \(g\)

Entonces:

g(X)=X^{3}-X^{2}(a+b+c)+x(ab+bc+ac)-abc

Igualando los coeficientes se obtiene el sistema:

\begin{Bmatrix}a+b+c=0 \\ ab+bc+ac=3 \\ abc=10\sqrt{2}i \\ a+b=2\sqrt{2}i \end{matrix}

De donde se obtiene que \(c=-2\sqrt{2}i\)

Entonces, dividiiendo a \(g\) por \((x+2\sqrt{2}i)\) se obtiene un polinomio cuadrático del cual se hallan fáciles las otras 2 raíces, quedando factorizado como:

\(g(X)=(x+2\sqrt{2}i)\cdot{(x-(\sqrt{2}i+\sqrt{3}))\cdot{(x-(\sqrt{2}i-\sqrt{3}))}}\)

#3 guidotripodi 2011-11-02 22:12

Hola, en el ejercicio numero uno, en la sumatoria como llegaste a ese numero?

#4 KillSchrodingerCat 2011-11-03 02:59

Hola guido.

Use que:

\sum_{i=0}^{n} a^{i}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}