Saludos.
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[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial [13/12/03]
Vamos con el 2 a ver si esta bien.
$$6a \equiv {2}^{117} (20) \Longleftrightarrow 6a \equiv 12 (20)$, y tambien tenemos $ 14a \equiv 3 (15)$$
$$$Luego separando con en modulos y luego aplicamos el TCR. Entonces nos queda...$$$
$$\begin{Bmatrix} 6a \equiv 12 (4) \Longleftrightarrow 2a \equiv 0 (4) \Longleftrightarrow a \equiv 0 (2) \\ 6a \equiv 12 (5) \Longleftrightarrow 6a \equiv 2 (5) \Longleftrightarrow a \equiv 2 (5) \\ 14a \equiv 3 (5) \Longleftrightarrow 56a \equiv 12 (5) \Longleftrightarrow a \equiv 2 (5) \\ 14a \equiv 3 (3) \Longleftrightarrow 28a \equiv 6 (3) \Longleftrightarrow a \equiv 0 (3) \end{matrix}$$
$$$Luego nos queda...$$$
$$\begin{Bmatrix} a \equiv 0 (2) \\ a \equiv 2 (5) \\ a \equiv 0 (3) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} a \equiv 0 (2) \\ a \equiv 12 (15) \end{matrix} \Longleftrightarrow a \equiv 12 (30)$$
Bueno, esto esta bien o es cualquiera???
Gracias de antemano
Editado 1 vez.
El 3 esta resuelto aqui [Resuelto]Ejercicio de parcial
está mal. el 2
disculpa que no use tex, pero me pierdo y ando sin tiempo.
2a congruente a 0 modulo cuatro NO es si y solo si a congruente a 2 modulo cuatro
2a congruente a 0 modulo 4 implica a es congruente a 0 modulo 2.(implica o si y solo si, no me quedo 100%claro)
el contra ejemplo es a=8.
cuidado con esto, yo cometi el mismo error que vos y me lo corrijieron.
el resto esta bien(aunque con poca justificacion)
el sistema que queda al final para resolver es
a congruente a 0 modulo 2
a congruente a 0 modulo 3
a congruente a 2 modulo 5
que es un sistema facil, queda como solucion final con TCR
a congruente con 12 modulo 30
para que no sea tan facil equivocarse, separa el 20 en 4 y 5(coprimos 2 a 2)
y el 15 en 3 y 5.
luego, fijate como es a respecto a cada modulo, el modulo 5 lo vas a tener repetido, los dos diran lo mismo, y te quedan los otros.
otra cosa, no pongas TODO si y solo si, pues no son todos si y solo, no siempre vale la vuelta.
no te dejes llevar con los si y solo si, a mi aun me cuesta mucho darme cuenta eso -.-
mas aun, los 3 si y solo si que pusiste en los ultimos 3 pasos, no sin si y solo si.
no entiendo el ante ultimo paso, como pasaste de la modulo 3 y la modulo 5, a una sola modulo 5?
en verano aprendo y veo como es para usar tex, ahora sin tiempo xD
Buenas, gracias iwannarock, tenes razon con lo de 2a\equiv2(4), lo mire y no entendi que habia hecho 😛
y despues al final escribi unas cositas mal.... eso por postear en tiempitos libre del trabajo 😛 anda uno a las apuradas...
Ahi corrijo ese ejercicio
Corregido... doy fe que a veces mando sii en lugares donde va un igual porque queda mas "lindo" ahora en este ejercicio... entendia que eran todos sii... alguien puede decirme cual paso no seria un sii o donde uno deberia aclarar porque es un sii
Muchas gracias.
Gracias a ALE por su paciencia paso su resolucion en limpio. Llamo P al polinomio del ejercicio
Fijate que \({P}^{'}\) tiene a -1 por raíz que también es raíz de \(P\). Al factorizar quedará algo así:
\(P(X)=(X+1)^2Q(X)\) donde \(Q\) tiene grado 13, aparte \(Q\) tiene coeficientes reales.
Claramente \({P}^{''}\) tiene como única raíz al 0, que no es raíz de \(P\), luego \(P\) no
tiene raíces de orden 3 o mayor.
Como tiene coeficientes reales, si tiene raíces complejas, tienen que venir de a pares conjugados
(esto porque si \(z\) es raíz, \(\overline{z}\) también, en polinomios reales) así que seguro tenés
una raíz real más, digamos \(r\). Ahora, los únicos número reales que resuelven
\({P}^{'}=0\) son 1 y -1, pero es claro que 1 no es raíz, luego esa raíz que tenías, la \(r\), debe ser simple.
Es decir que hasta ahora tenés -1 raíz doble, una raíz real r simple, y te queda un polinomio con
coeficientes reales de grado 12. Ahora bien, siendo \(w\) una raíz 14 de la unidad (no
necesariamente primitiva) ocurre que : \(w^{15}-15w-14=w-15w-14=-14w-14=0\) esto ocurre
sí y sólo sí \(w=-1\) o sea que LA ÚNICA RAÍZ DOBLE de este polinomio es -1.
Finalmente las raíces complejas deben ser 12, así que en total hay 14 raíces distintas. 🙂
kyo. hola
al final del ejercicio que mandaste tres si y solo si.
no entiendo porque es un si y solo si al paso de tener 3 ecuaciones a tener 2.
puede que la de 3 implique la de 2...pero no veo como la de 2 implica la de 3
Buena observacion... pero no me asegura el TCR que puedo volver para atras al ser los modulos coprimos... porque cuando paso de 3 ecuaciones a 2, para volver para atras unicamente descompongo en factores primos y aplico la congruencia... Puede ser?
tenes razon en lo que decis, pero no estoy 100% seguro, creeria que tenes razon.
justo el tema que mas me cuesta es el teorema chino del resto....chino tenia que ser
Alguien tiene idea del 4?
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
