Saludos
Tema
[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial [14/12/04]
El \(1)\) me salio de la siguiente manera
\($Vemos primero que $ 260={2}^{2}*5*13$ entonces vemos congruencia modulo sus factores primos. Y si existe solucion para cada ecuacion de congruencia, por se los modulos coprimos el TCR nos permite hallar la solucion de la ecuacion principal$\)
$${2}^{100} + n {\equiv}_{(4)} {({2}^{2})}^{50} + n \equiv n (4) \implies n \equiv 0 (4)$$
$${2}^{100} + n {\equiv}_{(5)} {({2}^{4})}^{25} + n \equiv 1 + n (5) \implies n \equiv 4 (5)$$
$${2}^{100} + n {\equiv}_{(13)} {({2}^{12})}^{8}{2}^{4} + n {\equiv}_{(13)} 16 + n \implies n \equiv 10 (13)$$
$$\begin{Bmatrix} n \equiv 0 (4) \\ n \equiv 4 (5) \\ n \equiv 10 (13) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} n \equiv 0 (4) \\ n \equiv 49 (65) \end{matrix} \Longleftrightarrow n \equiv 244 (260)$$
\($Entonces el menor $n$ que satisface lo pedido es $ n = 244\)
El \(2)\) asi....
\(\underline{Argunmento}\)
$$Arg({z}^{3}) = \frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow 3Arg(z) - 2k\pi = \frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow Arg(z) = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$$
$$0 \leq \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} < 2\pi \Longleftrightarrow 0 \leq k < 3$$
$$\underline{Modulo}$$
$${\vert z \vert}^{3} - 3{\vert z \vert}^{2} - 10\vert z \vert + 24 = 0$$
$$$Usando Gauss, Ruffini y Resolvente quedamos en que las unicas soluciones posible son $ \vert z \vert = \lbrace 2, 4 \rbrace$ la tercera daba un modulo negativo$$
\($Entonces los posibles $z$ son $ z = \lbrace (2,\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}) ; (4,\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}) \rbrace}$, con $k \in Z$, $0 \leq k < 3\)
El \(4)\)
\($Si quiero que $-1$ sea raiz multiple, al menos $-1$ debe ser raiz de ${f}^{'}$\)
$$$Derivamos ${f}^{'} = 6{X}^{5} + 5a{X}^{4} - 6{X}^{2} - 42X - 5{a}^{3}$$
$${f}^{'}(-1) = -5({a}^{3} -a - 6)$$
$$$Por Gauss y Resolvente vemos que el unico $a \in R$ es $a = 2$ los otros $a$ son complejos$$
\($Luego reemplazamos y factorizamos como siempre.$\)
El \(5)\) nose si esta bien ...
\($Relaciondo los coeficientes del polinomio del enunciado y sus coeficientes nos queda\)
$$\begin{Bmatrix} abc = -5 \\ ab + bc + ac = 0 \\ a + b + c = 2 \end{matrix}$$
$$$Nuestro polinomio a buscar $g$ es de la forma$$$
$$g(x) = 2(x - ab)(x - bc)(x - ac) \implies g(x)= 2{X}^{3} + {c}_{2}{X}^{2} + {c}_{1}X + {c}_{0}$$
$$$Y la relacion de las raices de $g$ con sus coeficientes queda$$$
$$\begin{Bmatrix} {c}_{2} = -2(ab + ac + bc) = 0 \\ {c}_{1} = 2(abbc + abac + bcac) = 2.abc( a + b + c) = 2.(-5).2 = -20 \\ {c}_{0} = -2abcabc = -2.-5.-5 = -50 \end{matrix}$$
\($Con lo cual $g(x) = 2{X}^{3} - 20X - 50\)
Bueno, si alguien por favor puede verificar estos ejercicios
Se agradece de antemano..
Saludos
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bien!! 🙂
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está bien la idea pero mepa que le erraste a alguna cuenta porque debería tener coef cuadrático
saludos!
Ummm las revisare... como el polinomio que me daban tenia un coeficiente igual a cero que es la suma de las raices multiplicadas de a pares... que coincide con el coeficiente del otro que es la suma de las todas las raices... que en este caso son multiplicadas de a pares... deberia quedar cero... estoy muy errado?
Para los que revisen el 5... Está bien. Efectivamente el término cuadrático muere. Me quedó lo mismo.
Saludos...
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
