[A Resolver] Primer Parcial [19/10/02]

$$\textrm{1) Sea X el conjunto de partes del conjunto \{1,2,3,4,...,100\} (es decir, los elementos de X son }$$

$$\textrm{los subconjuntos de \{1,2,3,4,...,100\} y sea R la relacion en X definida por}$$

$$\textrm{ARB \Leftrightarrow A - \{1,2,4,5,6,8,9\} \subseteq B.$}$$

$$\textrm{i) Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica o transitiva.}$$

$$\textrm{ii) Cuantos subconjuntos B de \{1,2,3,4,...,100\} satisfacen \{1,2,3,4,...,50\}RB?}$$

$$\textrm{2) Hallar todos los a \in \mathbb{Z} tales que (3a + 2 : 6{a}^{2} - 2a + 1) \neq 1.$}$$

$$\textrm{3) Probar que \sum_{i=1}^{2n - 1} {(-1)}^{i+1}i! \leqslant \frac{(2n)!}{2} \; \forall n \in \mathbb{N}$}$$

$$\textrm{4) Sea $f$ : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\; la\; funcion\; definida\; por$}$$

$$\textrm{f(n)=\begin{Bmatrix}\frac{3n + 1}{2} & si\; n \;es \;impar\; \\ \frac{n + 4}{2} & si\; n\; es\; par \end{matrix}}$$

$$\textrm{i) Determinar si f es inyectiva.}$$

$$\textrm{ii) Determinar si f es suryectiva y, si no lo es, hallar su imagen.}$$

$$\textrm{5) De cuantas maneras pueden distribuirse 38 bolillas numeradas en}$$

$$\textrm{6 cajas distintas con la condicion de que en la primera caja haya al menos dos bolillas.}$$

$$\textrm{6) Halllar todos los a,b \in \mathbb{Z} \; q \;satisfacen \;19 \leqslant a + b \leqslant 68\; y \;12a + 22b = 46.$}$$