Va otro.
$$\textrm{1) Sea \{{a}_{n}\}{}_{n\geq0}\; la\; sucesion\; por:$}$$
$$\textrm{ {a}_{0}=4, \; {a}_{1}=1, \; {a}_{n} = 12{a}_{n-1} - 27{a}_{n-2} \; (n\geq2)$}$$
$$\textrm{Probar que si n\geq1 \; entonces\; {3}^{n-1} \; divide \; a\; {a}_{n}\; pero\; {3}^{n}\; no.$}$$
$$\textrm{2) Sea A=\{1,2,3,4,5,6\}. Determinar cuantas relaciones R en A satisfacen }$$
$$\textrm{simultaneamente las siguientes condiciones:}$$
$$\textrm{i) R es reflexiva y simetrica}$$
$$\textrm{ii) Para cada x \in A, (2,x) \in R \; sii \; x \; es \; par$}$$
$$\textrm{3) Hallar todos los a \in \mathbb{Z} \;tales \;que\; (5a - 3 : 7{a}^{2} - a + 1 ) \neq 1$}$$
$$\textrm{4) Probar que, \forall k \in \mathbb{N}, {19.14}^{k} + 1 no es primo.$}$$
$$\textrm{Sugerencia: ver congruencias modulo 3 y modulo 5}$$
$$\textrm{5) Probar que \sum_{i=1}^{n+1} i! \geqslant 5.{2}^{n} - 7\; \forall n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2.$}$$
$$\textrm{6) De cuantas maneras se pueden ubicar 23 bolitas numeradas}$$
$$\textrm{en 5 cajas de manera que la segunda caja contenga exactamente 5 bolitas y}$$
$$\textrm{la primera caja contenga a lo sumo una bolita?}$$
Saludos.