Otro Parcial 😛
$$\textrm{1) Sea A=\{ x=({x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{100}) \diagup {x}_{i} = 0 \; o \; 1 \; y \; {x}_{1} + {x}_{2} + ... + {x}_{100}= 10$\} }$$
$$\textrm{y sea R la relacion en A definida por xRy \Longleftrightarrow {x}_{1}{y}_{1} + {x}_{2}{y}_{2} + ... + {x}_{100}{y}_{100} = 0$}$$
$$\textrm{Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica o transitiva. En cada caso justificar la respuesta.}$$
$$\textrm{2) Cuantas funciones inyectivas $f$ : \{1,2,3,...,50\} \rightarrow \{1,2,3,...,80\}$}$$
$$\textrm{hay que satisfagan simultaneamente las condiciones}$$
$$\textrm{* $f(1)$ \;es\; par$}$$
$$\textrm{* $f(2) =$ \;4$}$$
$$\textrm{* $f(3) \geq$ \; 6$}$$
$$\textrm{3) Sea ({a}_{n}){}_{n\geq0}$ la sucesion definida inductivamente por}$$
$$\textrm{ {a}_{0}= 1;, \;{a}_{1} = 3,\; {a}_{n} = {a}_{n-1}\; -\; {a}_{n-2}\; ( n \geq 2)$}$$
$$\textrm{ i) Probar que {a}_{n+6} = {a}_{n} \forall n \geq 0$}$$
$$\textrm{ ii) Calcular \sum_{k=0}^{255} {a}_{k}$}$$
$$\textrm{4) De cuantas maneras pueden colocarse 17 bolitas rojas y 22 bolitas negras}$$
$$\textrm{en 8 cajas numeradas con la condicion de que la primera caja debe contener exactamente}$$
$$\textrm{3 bolitas negras, la tercera caja debe contener al menos 2 bolitas rojas y la quinta caja no}$$
$$\textrm{puede quedar vacia?}$$
$$\textrm{ 5) Sean a,b \in \mathbb{Z} tales que $53 \vert$ a y (a:b) = 1. Probar que $a + 5b$ y $10a - 3b$ son coprimos.}$$
$$\textrm{ 6) Hallar todos los a,b,c \in \mathbb{Z} \;tales \;que \;a + b + c = 35\; y\; 13a + 27b + 2c = 176.$}$$
Saludos.