$$$2) Halle $a \in \mathbb{Q}$ tal que $x^4-2x^3+ax^2-8x-16$ tenga tres ra\'ices cuyo$$$
$$$producto sea $-8i$. Luego, factorice en $\mathbb{Q}\[X\]$, $\mathbb{R}\[X\]$ y $\mathbb{C}\[X\].$$
\($3) Halle el resto de la divisi\'on de $\sum_{i=1}^{1234}i^{42}$ por 11$\).
$$$4) (a) Halle todos los $z\in\mathbb{C}$ tal que $z^7=(-1+i)^{14}.$$
\($.\hspace{11}(b) ?`Cu\'ales de los $z$ hallados en el item anterior$\) \($satisfacen que $0<\text{arg}(\overline{z})<\pi$ ?$\)
$$$5) Sea $n\in\mathbb{N}$ impar. Demuestre las siguientes afirmaciones:$$$
\($.\hspace{11}(a) Si $w$ es una primitiva de $G_{n}$\) \($entonces $-w$ es primitiva de G_{2n}.$\)
\($.\hspace{11}(b) Si $w$ es una primitiva de $G_{2n}$\) \($entonces $-w$ es primitiva de G_{n}.$\)
$$.\hspace{110}\textbf{Justifique todas las respuestas}$$
\($2) Halle $a \in \mathbb{Q}$ tal que $x^4-2x^3+ax^2+8x-16$ tenga tres ra\'ices cuyo$\)
\($producto sea $-8i$. Luego, factorice en $\mathbb{Q}\[X\]$, $\mathbb{R}\[X\]$ y $\mathbb{C}\[X\].\)
Me acabo de fijar en el link que dejaste y la ecuación es \($x^4-2x^3+ax^2-8x-16$\)
Alguien sabe como hacer el 5) b??? estuve tratando y no llegué a nada :/...
Dejo mi resolución del 3), aunque no se si la compliqué demasiado xD..
$$$3) Halle el resto de la divisi\'on de $\sum_{i=1}^{1234}i^{42}$ por 11$$$
\(\sum_{i=1}^{1234}i^{42}= 1^{42}+ 2^{42}+...+11^{42}+...+1234^{42}\)
Queremos ver \(\sum_{i=1}^{1234}i^{42}\equiv ?? (11)\)
Una observación es que en la sumatoria todos los múltiplos de 11 no nos van a aportar nada pues \(11k\equiv 0 (11)\)
Y si miramos el resto de los números, como \(11\nmid{i}\), entonces por PTF, \(i^{10}\equiv 1 (11) $\)
Luego \(i^{42}\equiv(({i^{10}})^{4}).(i^{2}) \equiv i^{2}(11)\) para cada término de la sumatoria, entonces
Observación:dejo en la sumatoria también a los múltiplos de 11 pues no es falso decir que si i= 11k\(i^{42}\equiv i^{10} (11),\)pues sería decir que \(0 \equiv 0 (11)\)
Ahí probaste lo primero. Para probar que es primitiva, yo reemplazaría los exponentes por un \(d\) y probaría que ese d es disivible por 2 y por n y ahi seria primitiva (con algo así salía, creo)
Firma
Cristianrock dijo:
Por el Teorema del boludo, que asegura que si hay 2 boludos en un mismo final es el mismo boludo
$$$5) Sea $n\in\mathbb{N}$ impar. Demuestre las siguientes afirmaciones:$$$
\($.\hspace{11}(a) Si $w$ es una primitiva de $G_{n}$\) \($entonces $-w$ es primitiva de G_{2n}.$\)
\($.\hspace{11}(b) Si $w$ es una primitiva de $G_{2n}$\) \($entonces $-w$ es primitiva de G_{n}.$\)
\($Sea $w_{n,k}=\text{cos}(\tfrac{2k\pi}{n})+i\;\text{sen}(\tfrac{2k\pi}{n}),\) \($sabemos que $w\in G_n$ y que $w\in G^*_n \Leftrightarrow (n:k)=1\).
\($Adem\'as, $-w_{n,k}=-\text{cos}(\tfrac{2k\pi}{n})-i\;\text{sen}(\tfrac{2k\pi}{n})=\text{cos}(\tfrac{2k\pi}{n}+\pi)+i\;\text{sen}(\tfrac{2k\pi}{n}+\pi)=\) \(\text{cos}(\tfrac{2(2k+n)\pi}{2n})+i\;\text{sen}(\tfrac{2(2k+n)\pi}{2n})=w_{2n,2k+n}\).
\($(a) Quiero probar que si $w_{n,k}\in G^*_n$, entonces $-w_{n,k}=w_{2n,2k+n} \in G^*_{2n},\) \($pero esto ocurre si y s\'olo si $d=(2n:2k+n)=1.\)
\($Luego $2\nmid n \Rightarrow 2\nmid 2k+n \Rightarrow 2\nmid d \Rightarrow d=(2n:2k+n)=(n:2k+n)=\) \((n:2k)=(n:k)=1.\)
\($(b) Quiero probar que si $w_{2n,k}\in G^*_{2n}$, entonces $-w_{2n,k} \in G^*_{n},\) \($tomo $k=2k'+n$, luego $-w_{2n,2k'+n}=w_{n,k} \in G^*_{n}\Leftrightarrow d=(n:k)=1.\)
\($Luego $2\nmid n\) \(\Rightarrow 2\nmid 2k'+n=k \Rightarrow 2\nmid d \Rightarrow d=(n:k)=(2n:k)=1.\)
Espero que se entienda... (si me equivoqué en algo o hay alguna resolución mejor digan)
Sí se entiende y es muy buena idea, no lo había pensado así.
Vale escribió:
Gracias por el parcial!
Un detalle:
Roprgm escribió:
\($2) Halle $a \in \mathbb{Q}$ tal que $x^4-2x^3+ax^2+8x-16$ tenga tres ra\'ices cuyo$\)
\($producto sea $-8i$. Luego, factorice en $\mathbb{Q}\[X\]$, $\mathbb{R}\[X\]$ y $\mathbb{C}\[X\].\)
Me acabo de fijar en el link que dejaste y la ecuación es \($x^4-2x^3+ax^2-8x-16$\)