[Resuelto] Recuperatorio 1er Parcial Ej 5 (20/07/2010)

Sea \(b \in \mathbb{R}\) tal que \((1 + b)/b^2 \in \mathbb{Z}\)
Probar que \((1 + b^{2n})/b^n \in \mathbb{N}\) para todo \(n \in \mathbb{N}\)

Alguno tiene idea de como resolverlo?

Editado 2 veces.

Esta mal el enunciado. Decía que \(b\in\mathbb{R}\).
Si \(b\in\mathbb{Z}\) es muy fácil.
No te puedo ayudar mas que esto, pues aunque me lo consultaron y lo pensé, aun no se como sale por inducción..

Si, es verdad, fue un error de tipeo
Ahi lo edite, gracias por avisar.

Saludos

A mi me salió por inducción doble en el recuperatorio (estuve casi la mitad del tiempo puesto en este ejercicio).

Primero conviene reescribir el ejercicio, y te queda:

Sea \(b \in \mathbb{R}\) tal que \(b^{-1} + b^1 \in \mathbb{Z}\)
Probar que \(b^{-n} + b^n \in \mathbb{N}\) para todo \(n \in \mathbb{N}\)

Luego empezás a aplicar inducción.

\(P(1)\) sabés que es verdadera por el enunciado del ejercicio.

Luego suponés que \(P(k) \rightarrow P(k+1)\), o sea \(b^{-k} + b^k \rightarrow b^{-k-1} + b^{k+1}\)

Llegar desde la primera expresión a la segunda es bastante jodido (de hecho yo no pude), pero se me ocurrió lo siguiente.

Si yo tomo que \(b^{-k} + b^k\) es entero (por Hipótesis Inductiva) y que \(b^{-1} + b^1\) también lo es (por enunciado del ejercicio), su producto es entero también.

Su producto es \(b^{-k-1} + b^{-k+1} + b^{k-1} + b^{k+1}\)

Ahora, si eso es entero, y yo quiero probar que \(b^{-k-1} + b^{k+1}\) lo es, solo me basta probar que \(b^{-k+1} + b^{k-1}\) lo es (porque suma de enteros da enteros).

Y esto lo volvés a probar con inducción... en \(P(1)\) te queda \(b^0 + b^0 = 1 + 1 = 2 \in \mathbb{Z}\) y en la siguiente hipótesis inductiva te queda \(b^{-k} + b^k\) lo cual es cierto por el enunciado original.

Lo que me corrijieron es que en esta última inducción no uso la hipótesis inductiva de ésta para probarlo, pero me lo pusieron como bien igual al ejercicio, así que no sé 🙄

Supongo que alguien podrá arreglarlo a partir de ahi.

Una solución elegante:
expandir \((b+b^{-1})^n\) usando el binomio de newton y agrupar los términos de la pinta \(i\), \(n-i\), y usando inducción global ver que \(b^n+b^{-n}\) es entero

Si quieren después escribo los detalles, pero con esta idea sale al toque