Tema
Encuentre todos los \(a, b\in\mathbb{Z}\) tales que:
\(10a+14b\vert50\) y \(15a+21b\vert27\)
se que no es un ejercicio dificil pero no se como encararlo
lo que yo trate de hacer es:
\((10a+14b)q=50\) de la misma forma \((15a+21b)p=27\) para algun\(q,p\in \mathbb{Z}\)
pero me bloqueo ahi...Gacias si me pueden ayudar
\($Encuentre todos los $a,b \in \mathbb{Z}$ tales que $10a+14b \mid 50$ y $15a+21b \mid 27\).
\($En general, si $kx \mid ky$, entonces $ky=kxq \Leftrightarrow y=qx \Leftrightarrow x \mid y$, luego\)
\(10a+14b \mid 50 \Rightarrow 5a+7b \mid 25$ y $15a+21b \mid 27 \Rightarrow 5a+7b \mid 9\).
\($Luego $5a+7b \mid 25s+9t$, en particular, $5a+7b \mid (25:9)=1\)\($, entonces $5a+7b=\pm1\).
\($Si $5a+7b=1$, $7b\equiv 1\ (5) \Rightarrow 21b\equiv 3\ (5) \Rightarrow b \equiv 3\ (5)\), \($luego $a=\tfrac{1-7b}{5}=\tfrac{1-7(5k+3)}{5}=\tfrac{-35k-20}{5}=-7k-4\)
\($Si $5a+7b=-1$, $7b\equiv -1\ (5) \Rightarrow 21b\equiv -3\ (5) \Rightarrow b \equiv 2\ (5)\), \($luego $a=\tfrac{-1-7b}{5}=\tfrac{-1-7(5k+2)}{5}=\tfrac{-35k-15}{5}=-7k-3\)
\($Finalmente, $\fbox{$(a,b) \in \{(-7k-4,5k+3), (-7k-3,5k+2)\}\ \forall\:k \in \mathbb{Z}$}\)