Hallar todos los \(n \in \mathbb{N}\) para los cuales se cumple simultáneamente que:
\(iz^{n-1} \in \mathbb{R}_{>0}\) y \(w^{n + 2} \in \mathbb{R}_{<0}\)
3. Sean \(z = -1 + bi\), \(w = z^{2} + 4i\), \(y = z^{2} + 2 + 2i\) con \(b \in \mathbb{R}\), tres números complejos tales que \((X - z)(X - w)(X - y) \in \mathbb{R}[X]\). Hallar los posibles valores del producto \(wxy\).
4. Sea \(f \in \mathbb{C}[X]\) tal que su resto en la división por \(X^{2} - 1\) es \(\frac{1}{2}X - 2 + i\) y su resto en la división por \(X^{2} + 1\) es \(-\frac{3}{2}X - 2 - i\). Hallar el resto de \(f\) en la división por \(X^{4} - 1\)
5. Factorizar en \(\mathbb{Q}[X]\), \(\mathbb{R}[X]\) y \(\mathbb{C}[X]\) el polinomio \(X^{6} - 6X^{4} + 6X^{2} - 5\)
Muchas gracias Dr Bones por la ayudita con Tex =)[/b]
Quiero escribir a \(f\) como \((X^4-1)g+p\) con \(gr(p)<gr(X^4-1)\), pues entonces sé que \(p\) es el resto de dividir a \(f\) por \(X^4-1\).
Uso los datos que tengo:
El resto de dividir a \(f\) por \(X^2-1\) es \(\frac{1}{2}X-2+i \Longrightarrow f\equiv\frac{1}{2}X-2+i(modX^2-1) \Longrightarrow f=(X^2-1)h+\frac{1}{2}X-2+i\)
Por otro lado, el resto de dividir a \(f\) por \(X^2+1\) es \(-\frac{3}{2}X-2-i \Longrightarrow\) \(f\equiv-\frac{3}{2}X-2-i(modX^2+1)\)
Ahora quiero ver a qué es congruente \(h\) módulo \(X^2+1\)
Tengo que:
\(f=(X^2-1)h+\frac{1}{2}X-2+i\equiv(-1-1)h+\frac{1}{2}X-2+i\equiv\)\(-2h+\frac{1}{2}X-2+i(modX^2+1)\)
Sabía además que \(f\equiv-\frac{3}{2}X-2-i(modX^2+1)\), entonces
2-
Veamos primero lo que tenemos: hay un z que está escrito en forma trigonométrica estándar, cuyo módulo es \(\sqrt{2}\) y su argumento \(\frac{\pi}{14}\). En cambio, w no está escrito de esa forma, así queeeeeeee a \(w= 3 \:sen(\frac{37}{20}\pi)\) – \(3i\: cos(\frac{37}{20}\pi)\) lo multiplico por i y me queda un nuevo número complejo, escrito en forma trigonométrica: \(iw= 3 \:cos(\frac{37}{20}\pi) + 3i \:sen(\frac{37}{20}\pi)\).
Ahora, quiero ver el argumento que tiene w, así que uso las propiedades de De Moivre:
\(arg (w) = \frac{27}{20}\pi + 2j\pi \; (j \in \mathbb{Z})\) y tomando a j=0, \(\frac{27}{20}\pi \in [0; 2\pi)\) es EL argumento de w.
Bueno, ahora laburemos con lo pedido 😛
Quiero encontrar los \(n \in \mathbb {N}\) para los cuales se cumple simultáneamente que \(iz ^{n-1}\in \mathbb {R}_{>0}\) y \(w^{n+2} \in \mathbb{R}_{<0}\).
La primer condición pide que \(iz ^{n-1}\in \mathbb{R}_{>0}\), que es equivalente a pedir que \(iz ^{n-1}\)tenga a 0 como argumento (los reales positivos tienen ése argumento):
Pero bueno, de antes sabíamos cuanto valen esos argumentos, así que igualemos:
\(arg (z) =\frac{-\pi + 4k\pi}{n-1}=\frac{\pi}{14} \:\) [1]
\(arg (w)=\frac{\pi + 2j\pi}{n+2}=\frac{27}{20}\pi \:\) [2]
Y listo, resta con resolver cuáles son los n que cumplen con esas ecuaciones.
Lo dejo acá, pero creo que ya saben cómo seguir. Si puedo después lo subo.
Si encuentran algún error (u horror 😛) avisen.
Saludos!
Firma
"Das, was man sich vorstellt, braucht man nie zu verhein"
5
Corriganlo, cualquier cosa edito.
\(X^{6} - 6X^{4} + 6X^{2} - 5\)
Para resolverlo voy a hacer un cambio de variable, digamos \(x^2=y\)
Reescribiendo \(y^3-6y^2+6y-5\)
Uso Gauss y descubro que \(\textrm{ $5$ es raiz}\)
Como \(x^2=y\Rightarrow x^2=5\Rightarrow x=\pm\sqrt {5}\)
Lo probamos en la ecuación original SIEMPRE para ver que funciona, \((\pm\sqrt {5})^{6}-6(\pm\sqrt {5})^4}+6(\pm\sqrt {5})^2-5=0\)
Podríamos dividir el polinomio original por \((x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\) o podríamos fijarnos si hay otra raíz en el polinomio que obtuvimos mediante el cambio de variable, hagamos la ultima.
Dividimos \(\textrm{$y^3-6y^2+6y-2$ por $y-5=y^2-y+1$}\)
Vemos que las raíces de\(\textrm {$y^2-y+1$ son $\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$}\)
Nos acordamos de que \(x^2=y\Rightarrow x^2=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}}\)
Si lo meten en el polinomio original van a ver que anda, pero toda la paja hacerlo aca.
ademas se que: \((X-w)(X-y)(X-z)= {X}^{3}-(y+w+z){X}^{2}+(zy+zw+wy)X-wyz\)
Como este polinomio debe \(\epsilon\mathbb{R}\left[x\left]\) todos sus coeficientes deben ser numeros reales, es decir que:
\(y+w+z\) \(\epsilon\mathbb{R}\)
\(zy+wy+zw\)\(\epsilon\mathbb{R}\)
entonces veamos las condiciones
\(y+w+z=(3-{b}^{2}) + (2-2b)i + (1-{b}^{2})+(4-2b)i+(-1+bi)\)\(\epsilon\mathbb{R}\)\(\Leftrightarrow\)\(2-2b+4-2b+b=0\)\(\Leftrightarrow\)\(b=2\)
Reemplazamos b=2:
Floreal, como justificas que el polinomio es irreducible en Q[x]? Digamos, las raices las tiene en C[x] o en R[x] asi que en Q[x] es el polinomio derecho como te lo dan (esta bien eso q digo?), pero no se como justificarlo debidamente 😄
La factorización en \(\mathbb{Q}[x]\)
Sería \((x^2-5)(x^4-x^2+1)\)
Yo pondría como justificación que es irreducible en \(\mathbb{Q}[x]\) porque el primer polinomio es de grado 2 y no tiene raíces en \(\mathbb{Q}[x]\) y con el polinomio de grado 4 digo que es irreducible en \(\mathbb{Q}[X]\) porque............ no tiene raíces en \(\mathbb{Q}[X]\). Bien no sabría como justificarlo.
Si alguien corrige bienvenido.
Te pongo lo que dice Susana Puddu en su apunte con un ejemplo muy similar.
En la factorización del ejercicio 5 creo que hay que tener cuidado porque cuando haces cambio de variable hay que tener en cuenta que son variables complejas, o sea no se puede tomar raíz cuadrada con las raíces complejas que encontraste en polinomio de grado 3...hay que buscar módulo y argumento.
La primer condición pide que \(iz ^{n-1}\in \mathbb{R}_{>0}\), que es equivalente a pedir que \(iz ^{n-1}\)tenga a 0 como argumento (los reales positivos tienen ése argumento):
