[A Resolver] Final 10/03/06 Ejercicio 4

4- Hallar todos los z \(\varepsilon\) C tales que \((\sqrt{3-i})^{100}=|Z|^{990} z^{10}\)

Gracias!!

tenes mal el enunciado, es :

sale tomando modulo y argumento a ambos lados,es bastante trabajosa la resolución...intentá hacerla

fijate que el modulo de \((\sqrt{3}-i)\) es 2, y entonces te queda \(2^{1000}\)de ese lado, y del otro te queda \(|z|^{1000}\) entonces módulo de z es 2.

dps tomas argumento a ambos lados...el argumento de \((\sqrt{3}-i)\) 30 es decir pi/6, y como está elevado a la 1000

observás que te va a quedar 1000 . pi/6 notá que 12. pi/6 = 2pi y cada vez que te queda un 2pi cuando le apliques cos y sen de 2pi te queda 1.
entonces miras la congruencia de 1000 módulo 12...
que es 4...entonces finalmente queda que el argumento de este lado es 4. pi/6 = (2/3) pi
tomando argumento del otro lado,tenes el argumento de una multiplicación que es igual a la suma de los argumentos...el argumento de |z| es 0 ya que |z| es un numero real.
el argumento de \(z^{10}\) = 10. arg(z) +2kpi

finalmente obtenes la ecuación:

(2/3) pi= 10. arg(z) +2kpi de ahi despejas arg(z) y te fijas cuales son los k enteros q mantienen a arg(z) entre 0 y 2 pi

si no me equivoco eran 0,-1,-2...-9

Fin 😄

espero q se haya entendido,sino leelo bien e intentá hacerlo

Les dejo la fecha:
Suponiendo que es el ejercicio que yo creo, el enunciado es como dice Pape, FECHA: \((10/3/06)\) 😛 , Ejercicio \(4\) .