[A corregir]Final 1/03/02

Sea A={ n naturales / n =<20}. Determinar cuantas Relaciones R pueden definirse en A que satisfagan simultaneamente las tes condiciones siguientes:

1. R es reflexiva
2. R es simétrica
3. para todo a,b en A ,con a par, se tiene que (a,b) pertenece a R

Bueno claramente: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...20}

y en nuestras relaciones vamos a tener si o si incluidas cosas de la pinta R={(1,1),(2,2),(3,3)...(20,20),(2,1),(2,3)...(2,20), (1,2),(3,2)...(20,2)...}

ahora: resulta más fácil pensar (por lo menos para mí)¿QUE ES LO QUE NO VA A ESTAR SI O SI? y esto es, las pares de impares que sean diferentes entre sí(porque a los iguales los incluye la reflexividad)

es decir los de la pinta {(1,3),(1,5),(1,9)...} ahora...notar que los simétricos de cada uno de los q yo coloque en mi grupo de no incluídos van a estar automaticamente incluidos por simetría...es decir que si yo incluyo al (1,3) en mi R automaticamente se me va a agregar el (3,1)

entonces debo contar las parejas de impares sin repetir simetricamente(no se si se entiende)

como tengo 10 numeros impares dentro de los 20 naturales... veamos:

para el 1 pued encontrar 9 parejas de impares(ya que la 10ma es el mismo 1 que ya lo incluí por reflexividad), para el 3 puedo encontrar 1 menos que el 1 (no incluyo el (3,1) que ya se agrego con el (1,3) ni el (3,3) ) etc...
hasta cubrir todos los impares.
entonces el cardinal del conjunto de "no incluidos si o si" es 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45
y como para cada uno puedo decidir si incluirlo o no en R ,tengo dos opciones para cada uno; concluyo que la cantidad de relaciones que pueden definirse que satisfagan las 3 condiciones es \(2^{45}\)

Si hay algo mal por favor avisen 😄

Revivo esto un poco; yo lo pense así. AxA tiene 400 elementos, yo quiero que la relación sea reflexiva, entonces todos los pares de la pinta (a,a) los voy a tener si o si en las relaciones, hay 20 de estos pares, es decir uno por cada numero natural del 1 al 20. Saquemos estos pares del conjunto B del que voy a elegir cosas, que ahora tiene 380 elementos. Quiero que la relación sea simetrica es decir que si tengo (a,b) tengo que tener (b,a) también; como a B ya le saque las cosas de la pinta (a,a), lo puedo separar en dos partes la que tiene los elementos de la forma (a,b) y la otra con los de la forma (b,a), cada una tendra exactamente la mitad de los elementos del conjunto B, es decir 190.
Ahora el numero \(2^{190}\) me dice cuantas relaciones simetricas y reeflexivas puedo tener en A; ya que este numero indica de cuantas formas se pueden elegir conjuntos del conjunto B, que son los que puedo agregar o no a la relación, ya que los pares (a,a) los tengo todos, y me aseguro que cada ves que elijo un (a,b), viene el (b,a) de yapa. Entonces me quedaron 190 elementos, todos de la forma (a,b) con a distinto de b, y de estos quiero todos los que tengan alguna componente par, que seguro tienen que estar en la relación por el item iii). Y acá no se como seguir.

Yo no entiendo por pape saco los de la pinta (1,3),(1,5)... de entrada, en ningun lugar dice que no tienen que estar.
No se si alguien me podríaa decir si esta bien lo que llegue a hacer y como se terminaría.

gracias