[Resuelto] 17/05/03 EJ 4

Necesito ayuda con este:

Sean a,b enteros tales que (a:b)=1. Hallar todos los posibles valores de:

Lo que intenté hacer yo: pedazo de resolucion q no c si esta bien XD

\(d/4b^{2}+a^{2}\) y también \(d/2a^{2}+5b^{2}\)

entonces \(d/8b^{2}+2a^{2}[/\)

este se lo resto al otro miembro quedando \(d/-3b^{2}\)

ahora bien, si d es primo,llamemoslo p, entonces p/-3 (entonces p=3) ó p/b

vallamos al 2do caso: si p/b entonces por lo q pusimos antes nos queda que \(p/2a^{2}\)
entonces p/2 (p=2) ó p/a

ahora bien,si p/a , como p/b entonces p/(a:b)=1 y esto es Absurdo pues p es primo

entonces tengo 2 posibles valores para p (2 y 3)

si p es 2 entonces claramente divide a \(2a^{2}\) por lo tanto debe dividir a \(5b^{2}\) y como 2 no divide a 5,entonces divide a b^2 en particular divide a b. Pero si divide a b...como p/\(4b^{2}+a^{2}\)
entonces divide a a^2,en particular divide a a,lo cual es Abs pues sino (a:b)=2

Si p es 3 creo q no se me contradice nada....asiq podria ser un resultado para el mcd,si no me estoy olvidando de nada

ahora d podria ser 1 si ambas cosas son coprimas,con lo cual tengo otro resultado posible

y como ultima cosa q puede pasar d=p .q y como vimos q el unico p posible era 3,entonces d debe ser un múltiplo de 3....en particular puedo escribir a d como d=3 q,pero si q es compuesto,no puede tener otro primo q no sea 3,debido a q vimos q el unico primo q sirve es 3,entonces basta ver las potencias de 3...

veamos para \(3^{2}\)

Tenemos que:

entonces en particular \(3^{2}/8b^{2}+2a^{2}\)

también que \(3^{2}/2a^{2}+5b^{2}\)

restando:

\(3^{2}/3b^{2}\) entonces \(3/b^{2}\) 3/b

Ahora bien:

tambien sabemos que como:

en particular \(3^{2}/8a^{2}+20b^{2}\)

y como \(3^{2}/4b^{2}+a^{2}\) entonces \(3^{2}/20b^{2}+5a^{2}\)

estando ambas expresiones queda \(3^{2}/3a^{2}\) y entonces \(3/a^{2}\) entonces 3/a

pero esto es absurdo porq si 3/a y 3/b entonces (a:b)=podría ser 3 (distinto de 1)

entonces concluimos q los unicos 2 resultados posibles son:

d=3 ó d= 1
Gracias Agustín por el aporte del final =P

Edit:Ya lo terminé 😛

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Editado 1 vez.

Vos conclúíste que de haber un primo como divisor, es \(3\); o sea, obtuviste que los posibles valores del mcd son de la forma \({3}^{j},\;j\in\mathbb{N}_{0}\). Ahora bien, simplemente estudiá módulo 3; fijate que \(3|b,\;3|a\) no son posibles casos(verificalo; si supones \(3|b\), vas a obtener \(3|a\). Lo mismo suponiendo \(3|a\), obtenés \(3|b\). Y claramente no pueden valer simultánemanete, por ser coprimos \(a,b\)). O sea, \((b:3)\eq=(a:3)\eq=1\). El bonito resultado es que vale Fermat, o sea, \({b}^{2}\equiv 1(3),\;{a}^{2}\equiv 1(3)\)(recordá que vale por ser \(3\) primo). Luego, tomando módulo 3 en cada número, queda:

O sea, nunca son divisibles por \(3\). Luego, siempre \((4{b}^{2}+{a}^{2}:2{a}^{2}+5{b}^{2})\eq=1\)(es decir, si no son divisibles por 3, nunca van a ser divisibles por alguna potencia de 3). Fijate si te sirve el planteo, o si hay algún problema con el mismo. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

😮 tenes razón...viste yo dije q "si no me estaba olvidando de nada" era 3....Gracias por la aclaración