[No resuelto] Examen final (19/12/03) - Ejercicio 4

sea \(f=x^2+ax+b\) con a, b \(\in \mathbb{Z}\) y sean \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\) las raices de f. probar que para todo \(n \in \mathbb{N}\) se tiene que

Desconfío de lo que hice, (tengo sueño), pero se me ocurre lo siguiente, digan si está mal por favor:
Vamos a usar inducción completa:

Veamos que vale para \(n=1\) :

Luego, \(a=-\alpha -\beta\) y \(b=\alpha \cdot \beta\) \(-1 \in \mathbb{Z}\) y \(a\in \mathbb{Z}\) , entonces \(-1\cdot a \in \mathbb{Z}\) , Entonces \(\alpha + \beta \in \mathbb{Z}\) .

Supongamos que vale para todo \(k\) , \(1\leq k \leq n\) , y veamos que vale para \(n+1\) .

Pero tenemos lo siguiente:
\(({\alpha}^{n} + {\beta}^{n}) \in \mathbb{Z}\) (por H.I)
\((\alpha + \beta) \in \mathbb{Z}\) (por H.I)

Entonces, \(({\alpha}^{n} + {\beta}^{n})\cdot (\alpha + \beta)\) está en \(\mathbb{Z}\)

Por otro lado:
\((\alpha \cdot \beta) \in \mathbb{Z}\) , pues \(\alpha \cdot \beta = b \in \mathbb{Z}\)
\(({\alpha}^{n-1} + {\beta}^{n-1}) \in \mathbb{Z}\) (por H.I)

Entonces \(\alpha \cdot \beta \cdot ({\alpha}^{n-1} + {\beta}^{n-1})\) está en \(\mathbb{Z}\) .

Luego, \({\alpha}^{n+1} + {\beta}^{n+1} = ({\alpha}^{n} + {\beta}^{n})\cdot (\alpha + \beta) - \alpha \cdot \beta \cdot ({\alpha}^{n-1} + {\beta}^{n-1})\) está en \(\mathbb{Z}\) .

Luego, vale para todo \(n \in \mathbb{N}\) .

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Es exactamente como lo habia hecho yo el otro dia xD
Pero tb me quedo medio picando que algo puede q este mal... pero confio en q esta bien hasta q alguien diga lo contrario =)

Vamos nenes... tienen que saber cuándo algo está bien y cuándo no, especialmente cuando algo está bien bien. esto está bien bien. 😎