Final 17-12-04

Hola, resolví este problema y creo que esta bien tal vez aporte algo y sino avisen si esta mal...

Sea w una raiz octava primitiva de 1. Caracterizar los \(n\in{\mathbb{N}}\) tales que \(\displaystyle\prod_{k=0}^{n}{w^{12k}}=1\)

Lo que pense es buscar los n tales que \(\displaystyle\sum_{k=1}^n{12k}=8q\)
Entonces \(12\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}=8q\Rightarrow{12[\frac{n(n+1)}{2}]=8q}\Rightarrow{6n^2+6n=8q}\)

Y los n que cumplen eso son: \(n\equiv{0(8)}\;n\equiv{7(8)}\;n\equiv{4(8)}\;n\equiv{3(8)}\)
Bueno no se si esta bien, y si no hay una forma mas elegante de expresar las soluciones...porque queda un poco extenso asi

Saludos!

yo pense esto, primero nota que como \(w\) es primitiva de \(G_8\) entonces \(w^{12}=w^4\) y ademas que si \(w\) es primitiva de \(G_8\) entonces \(w^4\) es primitiva de \(G_2\) entonces podes redefinir tu problema a \(\prod_{k=o}^{n}{z^k}=1\) con \(z\) primitiva de \(G_2\) pero \(z=-1\) luego te queda \(\prod_{k=o}^{n}{(-1)^k}=1\).
Luego con tu misma idea de calcular la suma de los exponentes queda que n sea congruente a 0 o a 3 mod(4), que son las mismas soluciones que te dieron a vos.
Espero haber ayudado.

Lo arreglas al principio, buena idea!!!