$$\textrm{ 4- Probar que para todo n \in \mathbb{N}_{0} $ vale que }$$
$$\large \;{x}^{4}-{x}^{2}+1 | {x}^{24n+4}+{x}^{12n+6}+{x}^{12n+10}+1}$$
Tema
[NO Resuelto] 05/03/04 - Ej. 4- FINAL
buenas ... hoy en la clase de consulta pregunte sobre este ejercicio....y la respuesta es:
¡¡¡¡ no lo pudimos resolver !!!
asi q si alguna ves algun valiente se anima!! le regalo una hora gratis de conversacion con migo!! jajaj saludos!
si calculas las raices de \({x}^{4}-{x}^{2}+1\) te queda que son todas raices primitivas de \(G_{12}\) entonces tenes que probar que todas son raices del polinomio\({x}^{24n+4}+{x}^{12n+6}+{x}^{12n+10}+1}\). llamemos \(w\) a alguna de esas raices, entonces reemplazando te queda
\(w^4+w^6+w^{10}+1\) luego como \(w\) es primitiva de \(G_{12}\) entonces \(w^2\)es primitiva de \(G_6\) luego tenes que ver que (llamemos \(z=w^2\)) \(z^2+z^3+z^5+1=0\)\(\Leftrightarrow z^2+z^3+z^5+1+z+z^4=z+z^4\) luego como z es primitiva entonces \(z^2+z^3+z^5+1+z+z^4=0\) entonces quiero probar que \(z+z^4=0 \Leftrightarrow z^3+1=0 \Leftrightarrow z^3=-1\) como z es primitiva de \(G_6\) esto se cumple entonces el problema queda probado.
Lo de la charla es muy tentador asique sin dudar me puse a hacer el ej 😆 .Si esta bien, vos decime cuando queres charlar 😉
suerte