Final 16-12-05 Ej 5

Probar que \(F=x^{1833}+x^{1531}-x^{174}+2x^{137}+2x^4-x^2+1\) es divisible por \(g=x^4+x^3+x^2+x+1\)

Saludos!

Fijate que \(g\) tiene como raíces todas las raíces quintas primitivas de la unidad. Entonces, te fijas que si \(w\) es raíz quinta primitiva de la unidad, \(F(w) = 0\). Entonces, como toda raíz de \(g\) es raíz de \(F\). tenés que \(g\) divide a \(F\). Eso completa el ejercicio. Si no te termina de quedar claro, amplío luego.

ahhhhh gracias!
No sabia que eso era suficiente...

Pensalo así... como \(w \in G_5 \setminus \{1\} \Rightarrow F(w)=0\), entonces \(g = (X-w)(X-w^2)(X-w^3)(X-w^4)\) aparece en la factorización de \(F\).