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Hola, ayuda con este polinomio
Sea \(F\in{\mathbb{Q[X]}}\) un polinomio de grado 8. Factorizar f en \(\mathbb{Q[X]}\;\mathbb{R[X]}\;\mathbb{C[X]}\) sabiendo que satisface:
1- F tiene exactamente 5 raíces distintas en \(\mathbb{C}\)
2- \(1+i\) y \(2-\sqrt{3}\) son raíces simples de f
3- \(F(2)=0\) y \(F(0)=4\)
Espero respuestas
Saludos!
Como el polinomio está en \(\mathbb Q\), sabés que si un número complejo es raíz, el conjugado también. Como \(1+i\) es raíz, también lo debe ser \(1-i\). Ahora, por un razonamiento análogo, como \(2-\sqrt 3\) es raíz, también lo debe ser \(2 + \sqrt 3\). Como cada una de esas raíces es simple, los conjugados también son simples. La otra raíz es, por lo que nos dicen, 2. Como el grado de polinomio es 8, y no hay más raíces que las que encontramos, tenemos que 2 tiene que ser una raíz de grado 4. Entonces, el polinomio es de la pinta \(F = c \cdot (x- (1+i))(x-(1-i))(x-(2+\sqrt 3))(x-(2-\sqrt 3))(x-2)^4\), donde \(c\) es una constante. Evaluas en cero y sacás cuánto vale la constante. Ahí lo tenés factorizado en \(\mathbb C\), y pasar de ahí a los otros es más fácil. Saludos.