[Resuelto] Examen Final(5/4/02) ejercicio 4

Probar que si \(w\in {G}_{5}-\{1\}\Rightarrow w+\overline{w}\) es raíz de \({X}^{2}+X-1\eq=f\).
Este ejercicio es increíblemente sencillo; ¿cuál es esl sentido del post, entonces?... empecemos con el ejercicio.
Especializamos en \(f\):
\(f(w+\overline{w})\eq={(w+\overline{w})}^{2}+w+\overline{w}-1\eq={w}^{2}+2w\overline{w}+{\overline{w}}^{2}+w+\overline{w}-1\eq={w}^{2}+2{|w|}^{2}+{w}^{3}+w+{w}^{4}-1\eq={w}^{2}+2+{w}^{3}+w+{w}^{4}-1\eq=1+w+{w}^{2}+{w}^{3}+{w}^{4}\eq=0\), por ser una primitiva de \({G}_{5}\).
Con esto finaliza el ejercicio, sin embargo, creo que hay algo más que se puede hacer, y es la razón fundamental del post; probamos que \(w+\overline{w}\) es raíz de \(f\), pero \(w+\overline{w}\eq=2\Re (w)\). Y puesto que \(w\in {G}_{5}-\{1\}\), no tenemos muchas opciones; es decir, como el conjugado tiene parte real igual, solo hay dos opciones para \(\Re (w);\;\Re(w)\eq= \cos(\frac{2\pi}{5}),\;\Re(w)\eq=\cos(\frac{4\pi}{5})\). Luego, esos valores son raíces de el polinomio \({X}^{2}+X-1\). Utilizando la fórmula de resolución de este tipo d ecuaciones, obtenemos como posibles \(2\cos (\frac{2\pi}{5})\eq=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\;2\cos (\frac{4\pi}{5})\eq= \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) (es la única posibilidad, por una cuestión de signo; \(0<\frac{2\pi}{5}<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos(\frac{2\pi}{5})\). Con el otro coseno se razona de manera análoga. Concluímos, particularmente:

Por la propiedad \(\cos(2\alpha)\eq={\cos}^{2}(\alpha)-{\sin}^{2}(\alpha)\eq=2{\cos}^{2}(\alpha)-1\Leftrightarrow \frac{cos(2\alpha)+1}{2}\eq={\cos}^{2}(\alpha)\). Reemplazando en esta expresión, y recordando que \(0<\frac{\pi}{5}<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos(\frac{\pi}{5})>0\), se obtiene \(\cos (\frac{\pi}{5})\eq=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}}\). Utilizando \({\sin}^{2}(x)+{\cos}^{2}(x)\eq=1\), y por razones algo parecidas(en cuanto al signo del seno), se obtiene \(\sin(\frac{\pi}{5})\eq=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\). Ahora ya tienen dos valores más para la tabla de valores de cosenos y senos conocidos(dudo que sean muy útiles para el final, pero...). Si dudan del resultado, verifiquen con la calculadora los valores. Espero haber ayudado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

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