Sea \(f\in \mathbb{Z}[X]\) un polinomio de grado 3 con exactamente un coeficiente par. Probar que \(f\) admite alguna raíz no entera
Supongamos que \(f\) tiene todas raíces enteras. Sabemos que un polinomio de grado 3 puede escribirse \(d({X}^{3}-(a+b+c){X}^{2}+(ab+ac+bc)X-abc),\;a,b,c,d\in\mathbb{Z},\;a,b,c\) las raíces enteras. Ahora bien, podemos considerar los siguientes casos:
-todas las raíces impares: En este caso, \(a+b+c,\;ab+ac+bc,\;abc\) son impares simultáneamente. Luego, para que algún coeficiente sea par, \(d\) debe ser par, pero en este caso, todos los coeficientes del polinomio son pares. Contradicción, pues 1 solo debe haber
-2 raíces impares, 1 raíz par: \(a+b+c,\;abc\) serán pares, lo que hace que queden dos coeficientes pares, no solo uno. Contradicción.
-2 raíces pares, 1 raíz impar: \(ab+ac+bc,\;abc\) serán pares, lo que hace que queden dos coeficientes pares, no solo uno
-3 raíces pares: \(a+b+c,ab+ac+bc,abc\) son pares, lo que claramente es una contradicción.
Luego, en ningún caso obtuve un solo coeficiente par; llegue al absurdo, con lo que el polinomio de grado 3 que tiene exactamente un coeficiente par tiene alguna raíz no entera, como queríamos probar(todo esto vale, porque \(d\in \mathbb{Z}\); no puede ser de otra manera, porque son polinomios asociados de \({X}^{3}-(a+b+c){X}^{2}+(ab+ac+bc)X-abc\), y es mónico; multiplicar por \(d\) no entero hace que \(f\notin \mathbb{Z}[X]\))
Espero que haya ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities