[Resuelto] Final Febrero 02 - Ej 4

El ejercicio dice lo siguiente:
Hallar todos los \(z \in \mathbb{C}\) que verifican que:

Como \(\frac{2arg(z)}{\pi}\) es un número real, \({z}^{2} + z\) tiene que ser real, es decir que su parte imaginaria es nula. Si pensamos a \(z\) como \(z=a+bi\), queda que \({a}^{2} - {b}^{2} + 2abi + a + bi \in \mathbb{R}\)
Por lo tanto, \(2ab + b = 0\). Y despejando, obtenemos que \(b=0 \lor a=-\frac{1}{2}\).
Si \(b=0\), \(z \in \mathbb{R}\), por lo tanto \(arg(z)=0 \lor arg(z)=\pi\)
Considerando las dos posibilidades, obtenemos que los posibles valores para a son \(a=-2\) (los demás valores que verifican no tienen sentido, porque para argumento igual a 0 tambien verifica a=0 pero no esta definido el arg de 0, o a=-1 pero el arg de -1 no es 0, y para arg = pi, tambien verifica a=1, pero el arg de z=1 no es pi).
Ahora tenemos que considerar la otra opcion, que era \(a=-\frac{1}{2}\).
Entonces queda que \(-{b}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{2arg(z)}{\pi}\). Pero esto es absurdo porque el argumento es positivo o 0, y \(-{b}^{2} - \frac{1}{4}\) es siempre negativo. Por lo tanto los z que valen son \(z=-2\)
Espero que este bien, aunque pareciera que debería haber alguna otra, pero que se yo. Bueno un saludo! hasta el próximo ejercicio XD.