Probar que \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}>\frac{n}{2}\).
Otro ejercicio fácil, pero por si traía alguna complicación, quería mostrar una manera de acotar.
Si probamos con \(n\eq=1\), obtenemos \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{1}}\frac{1}{i}\eq=1+\frac{1}{2}\eq=\frac{3}{2}>\frac{1}{2}\). Luego vale para n=1
Veamos el paso inductivo; en efecto, supongamos \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}>\frac{n}{2}\). Si sumamos miembro a miembro \(\frac{1}{2}\), obtenemos \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}+\frac{1}{2}>\frac{n+1}{2}\). Ahora bien, observemos que \({2}^{n}+{2}^{n}\eq={2}^{n+1}\), luego podemos escribir \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n+1}}\frac{1}{i}\eq=\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}+\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{{2}^{n}+i}\). Luego, si probamos \(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{{2}^{n}+i}\geq\frac{1}{2}\), ya estamos(pues el resto de la suma ya aparece en la desigualdad).
Observemos que los términos \(\frac{1}{{2}^{n}+i}\) decrecen a medida que ''i'' crece; luego el menor de todos los términos es \(\frac{1}{{2}^{n+1}}\). Puesto que cada término de la suma es mayor o igual que este, concluímos \(\frac{1}{2}\eq=\frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}\leq \sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{{2}^{n}+i}\), y esto vale para todo n. Luego, probamos que \(\frac{1}{2}\leq \frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}\leq \sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{{2}^{n}+i}\). Volviendo a la expresión que dejamos:
\(\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n+1}}\frac{1}{i}\eq=\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}+\sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{{2}^{n}+i}\geq \sum_{i\eq=1}^{{2}^{n}}\frac{1}{i}+\frac{1}{2}>\frac{n+1}{2}\), lo que se quería probar.
Luego vale para todo natural
Nuevamente, espero haber ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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