[Resuelto] **/02/02 - Ej. 1 - FINAL

Este ejercicio lo saqué de un final del 2002 (si, de Febrero pero fecha desconocida).
El problema dice
Sea \(A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\). Determinar cuántas relaciones de equivalencia \(R\) sobre \(A\) satisfacen que:

y \((1,7) \not\in R , (1,8) \not\in R , (10,7) \not\in R\)

Bueno después de mirarlo un rato se me ocurrió lo siguiente. Para que la relación cumpla con la primera de las condiciones podemos agrupar a los elementos de \(A\) en los siguientes conjuntos disjuntos:

Esa sería una de las particiones posibles de \(A\), y por lo tanto una de las posibles relaciones de equivalencia. El total de relaciones de equivalencia sobre \(A\) que verifican la primera condición sería:

• Considerar los subconjuntos como están: \(1\) relación[/*:m]
• Tomar 2 de los subconjuntos y hacer la unión:
  $$\left(\begin{matrix}4 \ 2 \end{matrix}\right)$$
  relaciones[/*:m]
• Tomar 2 de los subconjuntos y hacer la unión entre ellos, y la unión entre los 2 restantes:
  $$\left(\begin{matrix}4 \ 2 \end{matrix}\right)$$
  relaciones[/*:m]
• Tomar 3 de los subconjuntos y hacer la unión:
  $$\left(\begin{matrix}4 \ 3 \end{matrix}\right)$$
  relaciones[/*:m]
• Tomar la unión de los 4 : 1 relación[/*:m]

En total hay 16 relaciones posibles que verifiquen la primera condición.
Ahora, la segunda condición nos dice que \({A}_{1}\) no puede estar unido a \({A}_{3}\), y lo mismo entre \({A}_{1}\) y \({A}_{4}\) y entre \({A}_{3}\) y \({A}_{4}\) . Aplicando el principio de inclusión-exclusión, queda que el total de relaciones es : \(16 - 3.(5) + 3.(2) - 2 = 5\)

Bueno creo que esta bien. Cualquier cosa avisen. Saludos!

Firma

God´s in his Heaven. All´s right with the world.

Si podes explicar mas detallado que es que cosa en el principio de inclusion-exclusion te lo agradecería

yo los conté a mano y dan 4 casos

Firma

Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Editado 1 vez.

Si, me falto aclarar eso. Yo supuse los siguientes conjuntos:

• \({R}_{1-3} =\) Las relaciones de equivalencia considerando \({A}_{1} \cup {A}_{3}\)[/*:m]
• \({R}_{1-4} =\) Las relaciones de equivalencia considerando \({A}_{1} \cup {A}_{4}\)[/*:m]
• \({R}_{3-4} =\) Las relaciones de equivalencia considerando \({A}_{3} \cup {A}_{4}\)[/*:m]

Y después hice 16 - #\(({R}_{1-3} \cup {R}_{1-4} \cup {R}_{3-4})\)

Y #\({R}_{a-b}\) lo conte como conte el cardinal de todas las relaciones entre los 4 subconjuntos, pero ahora considerando que tengo 3 subconjuntos, y entonces tenes 3 de esos cardinales. Después tenes 3 intersecciones dobles y la intersección triple.