Nota: es solo una parte del ejercicio. La primera parte me pareció demasiado fácil, es decir, dudo que presente muchas dificultades
Determinar el polinomio mónico en\(\mathbb{Z}[X]\) cuyas raíces son las raíces primitivas de la unidad de orden 10, todas con multiplicidad 1
Observemos que no tenemos una expresión adecuada para tales raíces(en realidad si, pero...). Sin embargo, sabemos que el polinomio \(f\eq=1+X+{X}^{2}+{X}^{3}+{X}^{4}+{X}^{5}+{X}^{6}+{X}^{7}+{X}^{8}+{X}^{9}\) tiene como raíces a los elementos de \({G}_{10}-{1}\). Sabemos además que \(g\eq=1+X+{X}^{2}+{X}^{3}+{X}^{4}\) tiene como raíces las primitivas de \({G}_{5}\). Luego, como \({G}_{5}\subset {G}_{10}\), además, sabemos que las primitivas de \({G}_{10}\) son los elementos que se obtienen de quitar los elementos de \({G}_{5}\) y de \({G}_{2}\). Del segundo y el primero sacamos el 1. Faltan sacar el -1 y las primitivas de \({G}_{5}\). Para ello, dividimos primero a \(f\) por \(g\); esto simplifica las primitivas de \({G}_{5}\). Si hacen la cuenta, obtienen \(q\eq={X}^{5}+1\). Luego, dividimos este polinomio por \(X+1\)(nos falta simplificar la raíz -1) y obtenemos \(h\eq={X}^{4}-{X}^{3}+{X}^{2}-X+1\), que satisface las hipótesis del problema. Una cosa quiero agregar, todo esto vale porque los polinomios que tomé tienen todas raíces distintas. Si no fuera así, quedarían cosas sin simplificar, etc.
Espero haber ayudado(otra cosa; noten que de acá puedo extraer el valor de las raíces primitivas; creo que está bueno como ejercicio) Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities