Sea \(w \in G_{11}, w \neq 1\). Calcular:
$$w^{2^{30}} + w^{2^{31}} + ... + w^{2^{39}}$$
Sé que \(2^{30} = 2^{10 * 3} \equiv 1^3 (11)\) por PTF. Entonces sé que puedo escribir a \(2^{30}\) como \(11k + 1\):
\(w^{2^{30}} = w^{11k+1} = 1^k * w = w\).
Además, noto que \(w^{2^{31}} = (w^{2^{30}})^2 = w^2\).
Siguiendo este razonamiento para las otras potencias me encuentro con que la suma planteada es equivalente a:
$$w + w^2 + ... + w^{10}$$
Y como \(w \in G_{11}\), la suma vale \(-1\).
Espero que les sirva, y si encuentran un error por favor avisen 😄
Hay una forma más simple de calcularlo? Puedo decir simplemente que por \(w \in G_{11}\) puedo analizar la suma (mod 11), o algo parecido?