\(\Rightarrow a = 23k + 10\) ya que por ser menor a 23, 10 es el resto.
$$\Rightarrow (2(23k+10)+5:13(23k+10)-2) = (46k+25:299k+128) = d \neq 1$$
Quiero los \(k\) que cumplen esto para poder construir mis \(a\) según lo pedido.
Sé entonces que \(d | 46k + 25 \land d |299k +128\). Como \(46 = 2 * 23\) y \(299 = 13 * 23\), puedo multiplicar la primera condición por 13 y la segunda por 2 para eliminar los k. Queda entonces que:
\(d | 69 \Rightarrow d = 1 \lor d = 3 \lor d = 23 \lor d = 69\).
Por hipótesis quiero que \(d \neq 1\). Busco con los otros posibles d y con ninguno me queda un sistema compatible al buscar los k con ecuaciones de congruencia... me hice un lío o me parece?
Llegue a que \(a \equiv 10(23)\) y por el otro lado hice,
\(d|(2a + 5) \land d|(13a - 2)\) multiplicando y restando me da que \(d|69\)
entoces d puede ser \(1,3,23,69\)
Como queres que \(d\neq1\) entoces buscas los a tales que el mcd sea 3 o 23 (de aca sale para 69)
Como ya sabes que \(a \equiv 10(23)\) probas si el mcd puede ser 23
\(2*a + 5 \equiv 2*10 + 5 = 25 \not \equiv 0 (23)\) Entoces 23 no puede ser el mcd
Ahora probas para que a el mcd es 3
\(13*a - 2 \equiv 0(3) \Rightarrow 13*a \equiv 2 (3) \Rightarrow a \equiv 2 (3)\). Comprobas si se comple en el otro (se cumple)
Entoces te queda un TCR entre \(a \equiv 2(3) \land a \equiv 10(23)\) y eso da
\(a \equiv 33 (69)\) y esa es la respuesta
Justo estaba haciendo este ejercicio cuando lo posteaste, no estoy seguro si esta bien, cualquier cosa avisen. Saludos!