[No Resuelto] Final (7/3/03) Ejercicio 1 (Congruencias)

Ayuda con este:

Uh mira sale relindo este, pero hay que darse cuenta, me costo un rato. Primero separo el modulo y lo trabajo por separado, ya que \({2}^{5n} \equiv 3n (16*17)\) \(\Leftrightarrow\) \({2}^{5n} \equiv 3n (16)\) y \({2}^{5n} \equiv 3n (17)\). Como \({2}^{5n} \equiv {({2}^{5})}^{n} \equiv 0 (16)\). entonces \(3n \equiv 0 (16)\), y como \((3:16)=1\), nos queda que \(n \equiv 0 (16)\). Entonces n es multiplo de 16. Y como \((2:17)=1\), el pequeño teorema de Fermat afirma que \({2}^{16} \equiv 1 (17)\). Entonces \({2}^{16k} \equiv 1 (17)\), con \(k \in \mathbb{Z}\). Si tomamos \(n=16k\), nos queda que \({2}^{n} \equiv 1 (17)\), entonces tambien \({({2}^{n})}^{5} \equiv 1 (17)\). Entonces nos queda que \(3n \equiv 1 (17)\). Como el inverso multiplicativo de 3 en modulo 7 es 6, queda que \(n \equiv 6 (17)\). Entonces nos quedo:

y armamos un teorema chino del resto...creo que se puede eficientizar un poco pero bue, esa es la idea igual... si no te sale el teorema chino avisame y pongo el resto de la resolucion. Espero que sirva.

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Una cosa; \({2}^{5n}\eq={({2}^{5})}^{n}\). Como \({2}^{5}\equiv 0(16)\), concluís lo que concluíste. Es decir, no está mal \({2}^{5n}\equiv {2}^{n}{2}^{5}\), pero no es un paso directo. Va, puede ser que esté muy metido en análisis y no estoy viendo bien..., espero que se entienda lo que quiero decir.

mmm nop lo que dije yo estaba mal. Esta bien lo que decis pasa que me daba pereza escribir otra potencia mas jajaja, mi error por vago 😄

ahi lo edite, gracias!