Sea \(n \in\N\) \(N\) un numero impar
a) Probar que si \(w \in G_n\) es una raiz primitiva de orden \(n\) entonces \(-w\) es una raiz primitiva de la unidad de orden \(2n\)
b) Probar que todas las raices primitivas de la unidad de orden \(2n\) son de esta forma.
Tema
[a resolver]final 26/7/05 ej 2
Subo una parte del ejercicio, espero que sirva:
Veamos primero que \((-w)^{2n} = 1 \iff (-1)^{2n} \cdot w^{2n} = 1 \iff (w^{n})^{2} = 1\), esto es verdad, pues \(w \in G_{n}\)
Veamos ahora que \(-w\) es primitiva de la unidad de orden \(2n\)
Queremos ver que \((-w)^{k} \not= 1 \; \forall k\in \mathbb{N}\; , \; 1\leq k < 2n\)
Supongamos \((-w)^{k} = 1\)
Analizemos el caso \(k\;par\) , \(k=2j \;,\; j\in \mathbb{N} \; ,\; 1\leq j < n\)
Tenemos \((-w)^{2j} = 1\iff (-1)^{2j} \cdot (w^{j})^{2} = 1 \iff (w^{j})^{2} = 1\), entonces \(w^{j} \in G_{2}\) , es decir \(w^{j} = 1\) o \(w^{j} = -1\)
Pero \(w^{j} = 1\) es absurdo, pues \(w^{j} \not= 1 \forall j \in \mathbb{N}\; , \; 1\leq j < n\) por ser raíz primitiva de orden \(n\)
Además \(w^{j} = -1\) es absurdo también, ya que \(w \in G_{n}\), con \(n\; impar\), luego \(w^{j} \in G_{n}\), con \(n\; impar\), pero \(-1 \notin G_{n}\) con \(n\; impar\).
Veamos el caso \(k\;impar\)
\((-w)^{k} = 1 \iff (-1)^{k} \cdot w^{k} = 1 \iff w^{k} = -1\) Lo cual es absurdo, ya que \(w \in G_{n}\), con \(n\; impar\), luego \(w^{k} \in G_{n}\), con \(n\; impar\), pero \(-1 \notin G_{n}\) con \(n\; impar\).
Luego, \((-w)^{k} \not= 1 \; \forall k\in \mathbb{N}\; , \; 1\leq k < 2n\)
Avisadme cualquier error, hace calor, es viernes, está soleado, que más que eso se necesita para cometer un error?
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
Ahí va la segunda parte para que quede completo y para los que rinden en agosto como yo. Cualquier cosa avisen.
\(\textrm{Sea z $\in {{G}^{*}}_{2n}$. Quiero ver que existe $w \in {{G}^{*}}_{n}$ tal que $z=-w$.}\)
Voy a escribir de que forma son los \(z\) y de que forma son los \(-w\) y fijarme como hacer que se cumpla lo que quiero.
$$z \in {{G}^{*}}_{2n} \leftrightarrow z=\cos{(\frac{2k\pi}{2n})}+i\sin{(\frac{2k\pi}{2n})}=\cos{(\frac{k\pi}{n})}+i\sin{(\frac{k\pi}{n})}$$
Con k impar, k coprimo con n.
Por otra parte,
$$-w \in {{G}^{*}}_{n} \leftrightarrow w=(-1)\cdot(\cos{(\frac{2j\pi}{n})}+i\sin{(\frac{2j\pi}{n})})\\\leftrightarroww=\cos{(\frac{2j\pi}{n}+\pi)}+i\sin{(\frac{2j\pi}{n}+\pi)}\\=\cos{(\frac{2j\pi+n\pi}{n})}+i\sin{(\frac{2j\pi+n\pi}{n})}\\=\cos{(\frac{(2j+n)\cdot\pi}{n})}+i\sin{(\frac{(2j+n)\cdot\pi}{n})}$$
Entonces, sólo basta tomar \(k=2j+n\) para encontrar el \(-w\) correspondiente, y esto tiene sentido porque \(k\) es impar y \(2j+n\) también.
Espero que sirva.