Final 28/07/2015

Buenas gente, no me sale la parte 3 de este ejercicio del final del título:

El 1 y el 2 los pude hacer (o eso creo), pero el 3 no sé cómo encararlo. Les agradecería una mano.

Qué intentaste? Que sabés de las raíces 5tas de la unidad?

Quimey escribió:

Qué intentaste? Que sabés de las raíces 5tas de la unidad?

Hola Quimey. Que son todas primitivas (menos el 1) y no mucho más. Para el uno lo que hice fue probar que era irreducible en Z/Z2 (si fuese reducible en Z debería serlo en Z/Z2).

Para el 2, se sabe que las raíces de \(X^n-1\) son las de Gn, entonces dije que si G5 estaba contenido en Gn, el mcm sería f. De lo contrario, sería 1.

Está bien eso? Y si está bien, como puedo usarlo para el 3?

Quimey escribió:

Qué intentaste? Que sabés de las raíces 5tas de la unidad?

Sé que si una es raíz, su conjugada lo será. Pero me quedan las otras dos, que no sé como probar que son raíces. Puedo imaginarme intuitivamente que hacen falta sí o sí las otras dos raíces para que el polinomio caiga en Q, pero no sé como probarlo.

Salió con ayuda

Como f es irreducible, ( p : f ) = 1 ó f

Si (p : f ) = f, luego f divide a p, luego p tiene todas las raíces que se piden.

Si (p : f ) = 1, entonces existe la combinación lineal pq + fh = 1
Pero si evaluamos este polinomio en nuestra raíz primitiva, común entre f y q, obtenemos que 0 + 0 = 1. ABSURDO!

Luego, (p : f ) = f