Buenas, estoy trabadisimo con el punto 2 de este final(http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2013/algebra_I/Final27-12-13.pdf), se que para n > 2, es múltiplo de 4. No se que mas hacer, si alguien tiene un tip para tirarme se lo re agradeceria.
Tema
Final 27/12/2013
Hola vieja. Te muestro como lo pensé yo. Habría que justificar algunas cosas con un poco más de detalle, pero te paso la idea:
La cifra de las unidades será el número "\(c\)" entre 0 y 9 tal que
$$2^{n-1}(2^n-1)\equiv c (mod 10)$$
Dividiendo a todo por 2, queda:
$$2^{n-2}(2^n-1)\equiv c/2 (mod 5)$$
Ahora, como 5 y 2 son coprimos, podemos aplicar el pequeño teorema de Fermat y sabemos que \(2^4\equiv 1 (mod 5)\). Por lo tanto (un corolario de Fermat), lo único que nos importa del exponente es su resto módulo 4, pues si \(a\equiv b (mod 4) \Rightarrow 2^a\equiv 2^b (mod 5)\).
Miramos entonces las congruencias módulo 5 con un representante de cada clase de la relación de equiv. que define el módulo 4 (tomo representantes mayores a 2 para que no se me chingue la cuenta y no me queden números no enteros. Además recordemos que \(n\geqslant2\)).
Me fijo con \(n= 2;3;5\) (no agarro el 4 porque n NO es múltiplo de 4).
Si \(n\equiv 2 (mod 4)\Rightarrow 2^{n-2}(2^n-1)\equiv 3 (mod 5) \Rightarrow 2^{n-1}(2^n-1)\equiv 6 (mod 10)\)
Si \(n\equiv 3 (mod 4) \Rightarrow 2^{n-2}(2^n-1)\equiv 4 (mod 5) \Rightarrow 2^{n-1}(2^n-1)\equiv 8 (mod 10)\)
Si \(n\equiv 5 (mod 4) \Rightarrow 2^{n-2}(2^n-1)\equiv 3 (mod 5) \Rightarrow 2^{n-1}(2^n-1)\equiv 6 (mod 10)\)
Creo que habría que explayarse un poco más en por qué se \(c\) es par y se lo puede dividir por dos, y en por qué alcanza con tomar un representante de cada clase módulo 4, pero la idea está.
oohhhhhh, muchas gracias, creo que te amo
Hola, en ese mismo final en el ejercicio 3 creo que pude hacer correctamente el punto a) (ambos restos me dieron 0 modulo 13), pero en el punto b) me queda \(d \mid 13n \\) y también que \(\ d \mid 9*2^n\). Acá ya no se como seguir para sacar los posibles valores de d (\(d \in {1, 13n}\) creo). Puede que sea una tontería pero si alguien me puede tirar una pista se lo agradecería.
Gracias de antemano.
estebanquito escribió:
Hola, en ese mismo final en el ejercicio 3 creo que pude hacer correctamente el punto a) (ambos restos me dieron 0 modulo 13), pero en el punto b) me queda \(d \mid 13n \\) y también que \(\ d \mid 9*2^n\). Acá ya no se como seguir para sacar los posibles valores de d (\(d \in {1, 13n}\) creo). Puede que sea una tontería pero si alguien me puede tirar una pista se lo agradecería.
Gracias de antemano.
Hola vieja. Estoy un poco desafilado ya, pero tal vez puedo darte una mano. Mirándolo por arriba desde el celu y suponiendo que a lo que llegaste es correcto, veo que usando que n es impar podes seguir sacando conclusiones (tal vez ya te habías olvidado de que n era impar, me pasaba a mi).
Probá seguir, sabiendo que es impar. Si no se te ocurre mira la resolución:
Como d|13n y tanto 13 como n son impares, entoces d es impar. Usando eso, podes decir que, como d|9*2^n entonces d|9, porque los factores primos que sean "2" sabés que no están en tu d.
Y bueno, con esto ya podrás seguir un poco más supongo. Sabes que d divide a 9, por lo que 13 no es, etc...
Tomalo con pinzas lo que te digo igual, hace bastante que no hago álgebra. Cualquier cosa escribi de nuevo no pasa una
Hola, gracias pazos por responder. Listo ya con el tip que me tiraste lo saqué. Igual en 9n^2 era 13n^2 (mala mía) y ahí usaba tu data. Mil gracias!!