Buenas gente. Me topé con este ejercicio y no me sale. Es el tercero del final del 24/04/14 .
El ejercicio pide a gritos que use el Pequeño Teorema de Fermat, pero no sé cómo pasar a congruencias módulo p para aplicarlo. Agradecería su ayuda:
Sea \(p\) un primo impar:
a) Sea \(a\in Z,\; a\neq 1;-1.\) Probar que \(a^{(p-1)p^n}-1 \mid a^{(p-1)p^{n+1}}-1\) para todo \(n \in N\cup \{0\}\) y hallar el cociente.
b) Sea \(a\in Z\). Probar que si \(a\) no es divisible por \(p\), entonces \(a^{(p-1)p^n} \equiv 1 (mod \; p^{n+1})\) para todo \(n \in N\cup \{0\}\)
No sé qué tanto habrá que justificar, pero el b) sale fácil sabiendo que \(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod \;n)\). Pero para el a, realmente estoy perdidísimo.
Se sabe que para \(\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}\) y \(m\) impar, vale que \(\alpha -\beta|\alpha^m -\beta^n\), pues
\((\alpha^m -\beta^m)=(\alpha -\beta)(\alpha^{m-1}+\alpha^{m-2}\beta+...+\alpha\beta^{m-2}+\beta^{m-1})\).
Particularmente, \(\alpha -1|\alpha^m -1\), y también \((\alpha^n -1)=(\alpha -1)(\alpha^{m-1}+\alpha^{m-2}+...+\alpha+1)\)
Sea \(\alpha = a^{(p-1)p^n}\) sigue valiendo que \(\alpha -1|\alpha^m -1\). Si vale para \(m\) impar, particularmente vale para nuestro \(p\) primo:
$$\Rightarrow \alpha -1|\alpha^p -1$$
Pero si observamos bien, \(\alpha^p -1=a^{(p-1)p^{n+1}}-1\)
Luego, \(a^{(p-1)p^n}-1 \mid a^{(p-1)p^{n+1}}-1\), y siguiendo lo dicho arriba, su cociente es \((\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)\)
Nota: se puede usar también que \(\alpha -1|\alpha^n -1\) para todo \(n\) natural (demostrable fácilmente mediante congruencias), pero de alguna galera hay que sacar el cociente...
Aparte de la simplísima manera de resolver el b que puse más arriba, se puede hacer por inducción, usando lo demostrado en el a (que supongo es a lo que apuntaba el ejercicio). Dejo la resolución:
Caso base de la inducción: \(n = 0\)
\(a^{(p-1)p^0} \equiv a^{(p-1)} \equiv1 (mod \; p)\) (por el pequeño teorema de Fermat)
Por hipótesis inductiva, \((\alpha -1)\) es múltiplo de \(p^{n+1}\). Luego, si probamos que \((\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)\) es múltiplo de \(p\), \((\alpha -1)(\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)\) sería múltiplo de \(p^{n+2}\).
Se ve fácilmente que \(\alpha^q \equiv 1 (mod \; p)\;\forall q\inZ\) por el pequeño teorema de Fermat. Luego, cada elemento sumado en \((\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)\) es congruente a 1 módulo \(p\). Como son \(p\) elementos, sumados serán congruentes a \(p\), es decir, congruentes a cero, módulo \(p\).
Finalmente, \((\alpha -1)(\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)\) es múltiplo de \(p^{n+2}\Leftrightarrow (\alpha -1)(\alpha^{p-1}+\alpha^{p-2}+...+\alpha+1)=\alpha^p -1\equiv 0 (mod \; p^{n+2})\)
Créditos y agradecimientos para Agustín de los pibe'
En la última línea, al principio donde tenés \((\alpha^{p-1} + \cdots + \alpha + 1)\) , debería ser \($(\alpha - 1)(\alpha^{p-1} + \cdots + \alpha + 1)$\), pero salvo eso parece estar transcripto joya (y).
En la última línea, al principio donde tenés \((\alpha^{p-1} + \cdots + \alpha + 1)\) , debería ser \($(\alpha - 1)(\alpha^{p-1} + \cdots + \alpha + 1)$\), pero salvo eso parece estar transcripto joya (y).
Cierto! Yo lo corregí. Creo que quise poner que era múltiplo de p. Gracias