dice:
$$f R g \Leftrightarrow x^2+x+1|x^2f+(x+1)g$$
Probar que \(R\) es de equivalencia..
no me sale la simetria y transitividad.
gracias
Tema
[Resuelto] relaciones/div de polinomios
A ver, asi salia bastante facil:
R es transitiva \(\Leftrightarrow\) dadas dos relaciones \(fRg\) y \(gRh \Rightarrow\) \(fRh\). Supongamos entonces que \(({x}^{2}+x+1)|f{x}^{2}+g(x+1) y ({x}^{2}+x+1)|g{x}^{2}+h(x+1)\). Entonces \(({x}^{2}+x+1)\) divide a cualquier combinacion lineal de ambos, en particular a la suma. Entonces \(({x}^{2}+x+1)|f{x}^{2}+g(x+1)+g{x}^{2}+h(x+1)\). Y reagrupando nos queda que \(({x}^{2}+x+1)|g({x}^{2}+x+1)+f{x}^{2}+h(x+1)\). Como ({x}^{2}+x+1)|g({x}^{2}+x+1) entonces necesariamente \(({x}^{2}+x+1)|f{x}^{2}+h(x+1)\), entonces \(fRh\) y queda probada la transitividad.
Firma
Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...
con la simetria tambien tuve problemas...
Para la simetría, queremos probar que \(f\sim g \Longrightarrow g\sim f\)
O sea, \((x^{2} + x + 1) | (x^{2} \cdot f + (x+1) \cdot g) \; \Longrightarrow (x^{2} + x + 1) | (x^{2} \cdot g + (x+1) \cdot f)\)
Como \((x^{2} + x + 1) | (x^{2} \cdot f + (x+1) \cdot f) \quad \land \quad (x^{2} + x + 1) | (x^{2} \cdot f + (x+1) \cdot g)\)
combinando linealmente:
$$(x^{2} + x + 1) | \; (x^{2} \cdot f + (x+1) \cdot g) - (x^{2} \cdot f + (x+1) \cdot f)$$
Luego, \((x^{2} + x + 1) \; |\quad (x+1) \cdot g - (x+1) \cdot f\)
como además, \((x^{2} + x + 1) \; | \; (x^{2} \cdot g + (x+1) \cdot g)\), combinando linealmente:
$$(x^{2} + x + 1)\; | \quad ((x+1) \cdot g - (x+1)\cdot f)\; - \; (x^{2} \cdot g + (x+1) \cdot g)$$
$$(x^{2} + x + 1) \; | \;( -x^{2} \cdot g - (x+1) \cdot f )$$
Luego, \((x^{2} + x + 1) \; | \;( x^{2} \cdot g + (x+1) \cdot f )\)
Como se quería.
Disculpen si hay errores, quizás salga más fácil, pero así creo que se ve.
Saludos.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
agrego otra forma de hacerlo, usando congruencias, algo que mucho no usamos con polinomios \(f\sim g \rightarrow x^2f+(x+1)g\equiv0\; mod(x^2+x+1)\) sumando \((x+1)f\) nos queda \((x^2+x+1)f+(x+1)g\equiv{(x+1)f}\; mod(x^2+x+1)\) entonces \((x+1)g\equiv{(x+1)f}\; mod(x^2+x+1)\) \((x+1:x^2+x+1)=1\) entonces existe inverso multiplicativo de \(x+1\) por lo tanto lo podemos simplificar de la congruencia, entonces \(g\equiv\; f\; mod(x^2+x+1)\) de aca salen muy rapidamente la simetria y la transitividad
espero ayudar con este pequeño aporte
saludos. si hay algo mal avisen.