[Resuelto] - 21/04/06 - Ej 3

mmma ver este no me salio...Hallar todos los z tales que \(|iz-1|=2\) y \({(z+i)}^{6}={(\bar{z}-i)}^{6}\). La ultima igualdad no vale para todo z???

Claramenteno vale la ultima igualdad para todo z. Por ejemplo \(z=i\) no la verifica.
Para resolver esto decis. Si \(z\neq i \Rightarrow (\frac{z+i}{z-i})^6=1 \Rightarrow \frac{z+i}{z-i}\in G_6\) Pro las raices sextas las conoces. Entonces probas con cada una y despejas. Por ultimo reemplazas en la otra condicion a ver si se cumple

Pregunta. ¿La última igualdad no es \((z+i)^6 = (\overline z - i)^6\)?

Una cosa, Quimey. Me parece que no hace falta tanto trabajo. Fijate que de la primera condición, si elevás al cuadrado, podés escribir el módulo al cuadrado como el producto de \(iz-1\) y su conjugado \(-i\overline{z}-1\) y debe ser 4. Si trabajás por acá, obtenés que los únicos \(z\) que andan son \(\sqrt{3},\;-\sqrt{3}\). Después estudiás la otra condición.

uh perdon estaba pensando en cualquiera ya, nada que ver eso que vale para todo z. Ademas, yossarian tiene razon, ahi va un conjugado! gracias igual, me sirvio.

Notar que \(iz - 1 = i(z+i)\). Tomando módulo, se tiene que \(|z+i| = 2\), y multiplicando por el conjugado en la otra igualdad, se tiene que \(|\bar z - i|^{12} = 2^{12}\), etc.

uh, multiplicar por el conjugado, ese truco era de la secundaria jajaja, como me salvaba... genial gracias, ya lo habia olvidado

Perdón que reviva, hay algo que no termino de ver.
Primero tengo que \({(z+i)}^{6}={(\bar{z}-i)}^{6}\) pero además, El conjugado de \([{(z+i})}^6]\) es igual a \((\bar z-i)^6\)
Entonces lo que tengo es en realidad \((z+i)^6\) igual a su conjugado (Lo escribo porque latex no me deja conjugar todo junto) osea \((z+i)^6 - \overline{(z+i)^6}}= 0 = 2.Im(z)\)
Osea que \(z+i\) es real (fue lo primero que pense, y estuvo lindo, porque sale redondo el ejercicio) o sino (me di cuenta despues) tiene el argumento de las raíces de \(G_6\). Igual de la manera que pusieron acá sale un toque más fácil quizás, pero hay algo que no entiendo, como dije.

Tenés las raíces de \(G_6\) y qué hacés, las reemplazas en la ecuacion del modulo para ver si cumplen? No tendrías que buscar con qué módulo cumplen la ecuación? No se me ocurre bien como, porque lo que se me ocurrió, fue resolver \(|a.z.i - 1| = 2\) reemplazando \(z\) por alguna raiz sexta y siendo \(a\) lo que me modifíca al módulo de \(z\) (lo que quiero encontrar) llego a valores de \(a\) imaginarios. No se qué es en lo que me estoy equivocando, si en lo que hago, o en suponer que tiene que haber un módulo que cumpla eso, o directamente en todo jaja.

Ayuda? Porfis?

Editado 2 veces.

nachotee escribió:

Perdón que reviva, hay algo que no termino de ver.

Entonces lo que tengo es en realidad \((z+i)^6\) igual a su conjugado (Lo escribo porque latex no me deja conjugar todo junto) osea \((z+i)^6 - Conj.[(z+i)^6]= 0 = 2.Im(z)\)

Eso está mal. Si tomás \(w = (z+i)^6\) entonces \(w - \overline{w} = 2.Im(w) = 2.Im((z+i)^6)\)

nachotee escribió:

Tenés las raíces de \(G_6\) y qué hacés, las reemplazas en la ecuacion del modulo para ver si cumplen? No tendrías que buscar con qué módulo cumplen la ecuación?

Para \(z\neq-i\). De la última igualdad obtenés el argumento de \(z+i\) y de la primera igualdad el módulo.

tomás \(w = z+i\) y entonces \(\overline{w}=\overline{z+i} = \overline{z} - i\)

y te queda que \(arg((\frac{w}{\overline{w}})^6) = 6.arg(w.\overline{w^{-1}}) - 2k\pi = 6.2.arg(w) - 2 k\pi = 0 \Longrightarrow arg(w) = \frac{1}{6} k\pi\)

De la primera igualdad tenés que \(|z+i| = |\overline{z+i}| = |\overline{z}-i| = 2\)

Por otra parte \(\frac{z+i}{\overline{z}-i} \in G_6\)

Y además \(z+i = 2(cos\frac{1}{6}k\pi + i.sin\frac{1}{6}k\pi)\).

Por ejemplo \(\frac{z+i}{\overline{z}-i} = -1 \Longrightarrow z+i = -(\overline{z}-i) \Longrightarrow Re(z)=0\) y como \(|z+i|=2 \Longrightarrow z=i\)

Si hay algo mal, avisen por favor =)

kv310 escribió:

Eso está mal. Si tomás \(w = (z+i)^6\) entonces \(w - \overline{w} = 2.Im(w) = 2.Im((z+i)^6)\)

Sí si, me dí cuenta cuando me fui a dormir que lo había escrito mal en el post. También me di cuenta que en realidad \(z+i\) está en \(G_{12}\) y no solo \(G_6\)

kv310 escribió:

Para \(z\neq-i\). De la última igualdad obtenés el argumento de \(z+i\) y de la primera igualdad el módulo.

tomás \(w = z+i\) y entonces \(\overline{w}=\overline{z+i} = \overline{z} - i\)

y te queda que \(arg((\frac{w}{\overline{w}})^6) = 6.arg(w.\overline{w^{-1}}) - 2k\pi = 6.2.arg(w) - 2 k\pi = 0 \Longrightarrow arg(w) = \frac{1}{6} k\pi\)

De la primera igualdad tenés que \(|z+i| = |\overline{z+i}| = |\overline{z}-i| = 2\)

Por otra parte \(\frac{z+i}{\overline{z}-i} \in G_6\)

Y además \(z+i = 2(cos\frac{1}{6}k\pi + i.sin\frac{1}{6}k\pi)\).

Por ejemplo \(\frac{z+i}{\overline{z}-i} = -1 \Longrightarrow z+i = -(\overline{z}-i) \Longrightarrow Re(z)=0\) y como \(|z+i|=2 \Longrightarrow z=i\)

Si hay algo mal, avisen por favor =)

Sí, en realidad si me hubiera dado cuenta que \((zi-1)=i(z+i)\) habría sido todo más lindo. Ahora, no estás haciendo un poco de trabajo de más? Una vez que llegás a que \(Arg(z+i)=Arg(w)\) con \(w\in G_{12}\) y \(|z+i|=2\) ya tenés completamente descripto a \(z+i\) entonces \(z=2w-i\) para todo \(w\in G_{12}\). En partícular, si tomas \(i\in G_{12}\) entonces \(z=2i -i \Longrightarrow z=i\) es la solución que encontraste vos.

Pucha, qué manera de trabarme, no era tan dificil eh.

Gracias!

Sí, es como vos decís. Estaba tratando de relacionar el ejercicio con la pregunta que habías hecho. Por eso se complicó :p

Saludos!