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Dado \(z\in \mathbb{C} - \{-1\}\) , probar que \(|z| = 1\) si y solo si \(\exists \ a \in \mathbb{R}\) tal que \(z =\frac{1+ai}{1-ai}\)
Dado \(p(x) \in \mathbb{C}[x]\) probar que \(p(x)-x\) divide a \(p(p(x))-x\)
Estos son 2 ejercicios del final de algebra del 5/11/2013
Les di muchas vueltas pero no pude resolverlos, si alguien me ayuda le agradeceria.
Contanos que intentaste, donde te trabaste, etc... así te podemos ayudar.
Para el segundo te recomiendo mirar las raíces.
Quimey
Estoy estudiando para el final de álgebra 1 y tampoco me salen estos problemas. En particular no sé cómo empezar a pensar el que dice: dado p(x) en C[x] probar que p(x) - x divide a p(p(x)) - x.
¿Con qué tiene que ver? Necesito una pista, algo por dónde empezar, por favor.
Calamar escribió:
Dado \(z\in \mathbb{C} - \{-1\}\) , probar que \(|z| = 1\) si y solo si \(\exists \ a \in \mathbb{R}\) tal que \(z =\frac{1+ai}{1-ai}\)
VUELTA) Supongamos que \(\exists \ a \in \mathbb{R}\) tal que \(z =\frac{1+ai}{1-ai}\) queremos ver que \(|z| = 1\)
Tomamos módulo y vemos que \(|z| = \frac{|1+ai|}{|1-ai|} = \frac{sqrt(1^2+a^2)}{sqrt(1^2+(-a)^2} = 1\)
IDA) Acá no estoy tan segura de cómo es.
Sea |z| = 1, queremos ver que existe a en los reales tal que \(z =\frac{1+ai}{1-ai}\)
Sea w = 1 + ai, sabemos que \(\frac{|1+ai|}{|1-ai|} = 1\).
¿z tiene que poder expresarse como w/conj(w)?
Dado \(p(x) \in \mathbb{C}[x]\) probar que \(p(x)-x\) divide a \(p(p(x))-x\)
Ok, sigo la sugerencia y miro las raíces: me imagino que porque si un polinomio h divide a otro g entonces las raíces de h también son raíces de g.
\(p(x)-x = 0\) si y solo si \(p(x) = x\)
También \(p(p(x))-x = 0\) si y solo si \(p(p(x)) = x\).
Entonces \(p(p(x)) = p(x)\), es decir el polinomio compuesto con sí mismo es igual a él mismo.
¿Cómo sigo? ¿Me perdí o voy hacia algún lado no muy alejado de la respuesta correcta? ¡Por favor ayuda!
Va por ahi, tenés que organizar mejor las implicaciones y la dirección de tu razonamiento