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Final 22/7/2014 Ejercicio 2

3 respuestas 6214 visitas 2015-04-29

#1 Calamar 2015-04-29 19:03

a)Probar que para todo n $\in \mathbb{N}$ vale que:

\prod_{i=1}^n (n+i)\ = 2^n \prod_{i=1}^n (2i-1)

b)Probar que para todo n $\in \mathbb{N}, (2^n)!$ es divisible por $2^{2^{n}-1}$ y no es divisible por $2^{2^{n}}.$

La parte a) la pude resolver bien, pero la parte b) no pude hacerla. Trate por induccion, pero no sale. ¿Alguien me da una mano por favor?
Gracias!

#2 Quimey 2015-04-29 21:11

Creo que sale por inducción usando también el a). Fijate que $(2^{n+1})! = (2^n)! (2^n + 1) (2^n + 2) \cdots (2^n + 2^n)$

Firma

Quimey

#3 Emiliano 2015-07-24 20:57

Yo no puedo plantear el uno! Va, si puedo, pero me queda algo que no se como salir..

(\prod_{i=1}^{n} (n+i)) * 2 * (2*(n+1)-1) = (\prod_{i=1}^{n} (n+1+i)) * ((n+1)+(n+1))

Y de aca no se como hacer! O sea, puedo distribuir, y me queda 2*(2n+1).. o un (2n+2) del otro lado, pero no se que hacer con las productorias :S

#4 enzo bonggio 2015-07-26 22:33

Emiliano escribió:

Yo no puedo plantear el uno! Va, si puedo, pero me queda algo que no se como salir..
$(\prod_{i=1}^{n} (n+i)) * 2 * (2*(n+1)-1) = (\prod_{i=1}^{n} (n+1+i)) * ((n+1)+(n+1))$
Y de aca no se como hacer! O sea, puedo distribuir, y me queda 2*(2n+1).. o un (2n+2) del otro lado, pero no se que hacer con las productorias :S

planteas el caso base, y supones el caso n entonces queres probar

\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} = 2^{n+1} \displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{(2i-1)}

entonces la primer productoria si miras como son los terminas te sobran algunos y te faltan otros . falta i=1 y sobran i= n , n+1 .

\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} = \displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(n+i)}* \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)}

y la otra productoria

2^{n+1} \displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{(2i-1)} = 2^{n+1}(2n+1) \displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(2i-1)}

osea reemplazas el primero , aplicas HI , y luego igualas . Si escribi todo bien deberia dar , en mi carpeta dio pero no se si lo reescribi bien