Hola, les dejo el final que tomó la semana pasada Marco Farinati
1- Enunciar el principio de inducción global. Demostrar por inducción global que dados \(a,b \in \mathds{N}\) existen únicos \(q,r \in \mathds{N} \cup \{0\}\) tales que \(a = b*q+r\) con \(0\leq r < b\)
2- Sea \(f = x^{3} + ax^{2} + bx + 2 \in \mathds{Z}[X]\) y sean \(a,b \in \mathsds{Z}\). ¿Qué condiciones deben cumplir \(a\) y \(b\) para que \(f\) admita al menos una raiz entera? ¿Qué argumento utiliza? Demuestrelo. Dar los pares \((a,b)\) y calcular las otras raices del polinomio (en funcion de \(a\) y \(b\))
3- Sea la siguiente ecuación diofántica \(843 s+ 33t = 123000\). Dar el par \((s,t)\) tal que \(|s|\) sea mínimo.
4- En un colegio hay 535 alumnos inscriptos. El profesor de educación física quiso hacer un juego y le pidió a los alumnos que se pusieran en grupos de 25 personas pero sobraron 11. Más tarde pidió que se pusieran en grupos de 22 pero sobraron 6. Luego vino el director a preguntar cuántos alumnos habían asistido a clase ese día, el profesor de Educación física comenzó a contar pero el profesor de matemática, que estaba observando la clase, le dijo "No hace falta, hoy vinieron _____ alumnos y faltaron _____"
Comentarios: el examen duró 3 horas. En los 2 últimos ejercicios solamente tenías que poner el resultado en la hoja. Ojo, también había que entregar el desarrollo (sin mucho detalle) porque el profesor sólo lo iba a leer en caso de que el resultado que escribiste haya estado mal (de todos modos dijo que lo iba a leer en diagonal). Dijo "si hacen esos 2 ejercicios bien pero lo otro está muy mal zafan y se sacan un cuatrito" asi que no se asusten con las demos pero estudienlas de todos modos.
Gracias por postearlo! Tenes iniciada alguna de las resoluciones? Tengo pensado rendirlo en junio y veo que este es distinto a todos los finales que practiqué.
SI podes darme una mano y decirme como iniciaste los ejercicios aunque sea, te agradeceria!
Buenas! Hice el resto del examen pero no se me ocurre nada para el primer ejercicio, alguno sería tan amable de tirarme una punta? Intenté hacer inducción global sobre r y luego inducción sobre a pero no me lleva a nada.
Dana no entendí el camino que quisiste tomar, en particular yo hice algo diferente. Definí \(P(a) = ((\forall b \in \mathds{N} ) \exists ! q,r \in \mathds{N} \cup \{0\}\) tales que \(a = b*q + r,\) con \(0 \leq r < b)\)
De todos modos posteá hasta donde llegaste con tu idea
Hola, me podrían ayudar de alguna manera a empezar el punto 2? no se me ocurre nada!
Y por otro lado, en el punto 3 lo que hice fue resolver la ecuación diofántica y me da como solución:
s= 82000 + 11k
t = -2091000 + 281k
Para que el módulo de s sea mínimo k tiene que ser 0. Por lo tanto el par (s,t) sería (82000,-2091000) ?
Es así o se hace de otra manera? Porque me resulta medio raro.
Hola, me podrían ayudar de alguna manera a empezar el punto 2? no se me ocurre nada!
Y por otro lado, en el punto 3 lo que hice fue resolver la ecuación diofántica y me da como solución:
s= 82000 + 11k
t = -2091000 + 281k
Para que el módulo de s sea mínimo k tiene que ser 0. Por lo tanto el par (s,t) sería (82000,-2091000) ?
Es así o se hace de otra manera? Porque me resulta medio raro.
Gracias!
en cuanto al** 2 -**
en mi opinion para qe la raiz sea entera, al menos tiene qe estar en \(\mathbb{Q} [x]\) y no hay mucho opciones para qe esa raiz sea racional por gauss
en cuanto al** 3 -**
\(K\) puede ser negativo tambien, con \(K = -7455\) te queda \(|S| = 5\) xqe \(K \in \mathbb{Z}\)
en mi opinion para qe la raiz sea entera, al menos tiene qe estar en \(\mathbb{Q} [x]\) y no hay mucho opciones para qe esa raiz sea racional por gauss
eso es fácil de ver, \(f \in \mathbb{Z} [x] \implies f \in \mathbb{Q} [x]\) ya que \(\mathbb{Z} [x] \subseteq \mathbb{Q} [x]\)
igual para gauss necesitas que el polinomio pertenezca a \(\mathbb{Z}[x]\) (ya te lo dice el enunciado), tendrias que fijarte que tienen que cumplir \(a\) y \(b\) para los candidatos enteros que te dice gauss