Hola quisiera si me pueden ayudar con estos ejercicios, ya que mañana rindo.
1.a)Determinar un polinomio mónico cuyas raíces sean exactamente las raíces primitivas de \({G}_{6}\)
b) Hallar todos los \(n \in \mathbb{N}\) tales que
$${x}^{2}-{x}+{1}\vert{x}^{{5}{n}}+{x}^{n}+1$$
La consigna a) lo hice justificando todo, llegue que el polinimo es \({x}^{2}-{x}+{1}\)
Para la parte b) para que se cumpla que \({x}^{2}-{x}+{1}\vert{x}^{{5}{n}}+{x}^{n}+1\) tengo que pedir que \({w} \in {G^*}_{6}\) entonces
si llamamos a \({f}(x)={x}^{{5}{n}}+{x}^{n}+1\) debe pasar que \({f}(w)=0\) reemplase \({w}\) en \({f}\) pero no llegue a nada.
Asi que no se que hacer.
Primer caso \({p}\vert {a}\)
\({f}(a) \equiv {1} (p)\) \(\Longleftrightarrow\) \({p}\vert {f}(a)-{1}\)
entonces \({p}\vert {a}^{{p}^{3}}-{2}{a}^{{p}^{2}}+{a}^{p}+{p}+{1}}-{1}\) pero \({p}\vert {a}\) llegamos \({p}\vert {p}\) que esta bien
Segundo caso \({p}\not|{a}\)
\(({a}:{p})=1\) y como \({p}\) es primo \(\Longrightarrow\) P.T.F \({a}^{{p}-{1}}\equiv 1 (p)\)
Pero por el corolario sabemos que \({a}^{p}\equiv {a} (p)\)
\({a}^{{p}^{3}}-{2}{a}^{{p}^{2}}+{a}^{p}\equiv 0 (p)\) aplicando el corolario nos queda
$${a}^{3}-{2}{a}^{2}+{a}\equiv 0 (p)$$
\({a}({a}-{1})^{2}\equiv 0 (p)\) pero como \(({a}:{p})=1\) multiplico por el inverso de \({a}\)
\(({a}-{1})^{2}\equiv 0 (p)\) esto vale solamente para \({a}\equiv {1} (p)\)
Esta bien lo que hice no me siento seguro ya que había que probarlo para todo \({a} \in \mathbb{Z}\)
Y en la parte b) no se que hacer no tengo idea
3.a)Probar para todo \({n} \in \mathbb{N}\) vale que
b)Probar que para todo \({n} \in \mathbb{N}\), \(({2}^{n})!\) es divisible por \({2}^{{2}^{n}-{1}}\) y no es divisible por \({2}^{{2}^{n}}\)
La consigna a) lo probé por inducción no era muy difícil.
Y la parte b) quise implementar lo que había probado en a pero no se como, si alguien me da una mano como uso esa información
Se define una relación R siguiente en \(\mathbb{N} X \mathbb{N}\)
\(({{n}_{1}},{{m}_{1}})\) R \(({{n}_{2}},{{m}_{2}})\) \(\Longleftrightarrow\) \({n}_{1}\vert {n}_{2}\) y \({m}_{2}\vert {m}_{1}\)
a)Probar que es una relación de orden
b)Calcular la cantidad de elementos \(({n},{m})\in \mathbb{N} X \mathbb{N}\) que satisfacen simultáneamente:
\(({2},{{2}^{5}{3}^{18}})\) R \(({n},{m})\) y \(({n},{m})\) R \(({{2}^{10}},{6})\)
La parte a) sale rápido, en lo que me trabe es la parte b) alguna sugerencia.
Para cada \({n} \in \mathbb{N}\), \({n}\geq 3\)
a)Calcular el producto de todas las raíces n-ésimas primitivas de 1
b)Calcular el producto de todas las raíces n-ésimas de 1
Este verdaderamente no se que hacer.
Bueno el que deje sus sugerencias o ayudas les estaré muy agradecido.
Nos vemos
Ejercicio 2b)
Te fijaste de usar el Criterio de Eisestein ?
Ejercicio 4 , punto b )
para los n , tenemos estos datos
\(2/n\) y 2) \(n/2^{10}\)
Por 1) tenemos que \(n\) es igual a \(2*k\) con k en los enteros
Por 2) tenemos que ese k no puede ser cualquier cosa , si tratas de poner un 3 por ejemplo 2*3 no divide a 2^10 , solo podes tener potencias de 2
Si a y b son enteros y \(a/b\) , entonces b tiene al menos los mismos primos de a , elevado a las potencias de a (o mayores).
En el spoiler te dejo la respuesta para n
Para n , las opciones son \(n=2^{k}\) con k entre 1 y 10
2)a) Te conviene usar la otra versión de Fermat (\(a^p\equiv a (p)\) para todo \(a\)).
2)b) Si tuviera una raíz racional tendría que ser entera (criterio de Gauss) pero si tuviera una raíz entera \(a\) entonces \(0=f(a)\equiv 1 (p)\) (por 2)a) ) y esto es absurdo.
Gracias Quimey y a Luis ya que con su ayuda salio el 2 y el 4b) despues lo subo para que vean pero ya entendí lo que me quieran decir.
Quería si me podes dar una idea del 1 pero la parte b) no se como hacerlo por favor.
y sobre el 4 b) que es el producto de la raices n-ésimas de 1, a mi me dio \((-{1})^{{n}-{1}}\) osea si \(n\) es par me da \(-1\) y si \(n\) es impar \(1\).
Pero no se como hacer el 4a) osea el producto de las raices n-ésimas primitivas de \(1\).
Voy a empezar escribiendo todas las raices de \(G 6\)
$$r_0 = 1 +0i$$
$$r_1 = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$
$$r_2 = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$
$$r_3 = -1 + 0i$$
$$r_4 =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$
$$r_5 =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$
En este caso las primitivas son \(r_1\) y \(r_5\)
Ahora , supongamos que tengo un \(n \in N\) tal que cuando evaluó el polinomio \({x}^{{5}{n}}+{x}^{n}+1\) en \(r_1\) o \(r_5\) , me quede
\(r_2 + r_4 + 1\) , eso se haria \(0\) como queremos
Ahora , no me doy cuenta como hallar esos n , creo que hay que plantear ecuaciones de congruencia pero no me doy cuenta cuales. Quimey , alguna idea ?
Sugerencia para el 1:
Queremos probar que \(f(w)=0\), y no sabemos cómo, pero qué pasa si calculamos \(w^n\cdot f(w)\)?
Respuesta: \(w^n\cdot f(w)=0\) (hay que hacer la cuenta, no es inmediato, pero sale), como \(w^n\neq0\) (¿por qué?) tiene que valer \(f(w)=0\).